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y=4x^5-5x^4
Trazado el gráfico de la función/ y=4x^5-5x^4

Gráfico de la función y = y=4x^5-5x^4

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          5      4
f(x) = 4*x  - 5*x
f(x)=4x5−5x4f{\left(x \right)} = 4 x^{5} - 5 x^{4} 
f = 4*x^5 - 5*x^4
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-10000001000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
4x5−5x4=04 x^{5} - 5 x^{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=54x_{2} = \frac{5}{4}
Solución numérica
x1=1.25x_{1} = 1.25
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 4*x^5 - 5*x^4.
4⋅05−5⋅044 \cdot 0^{5} - 5 \cdot 0^{4}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
20x4−20x3=020 x^{4} - 20 x^{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

(1, -1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[1,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,1]\left[0, 1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
20x2(4x−3)=020 x^{2} \left(4 x - 3\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=34x_{2} = \frac{3}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[34,∞)\left[\frac{3}{4}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,34]\left(-\infty, \frac{3}{4}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(4x5−5x4)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(4 x^{5} - 5 x^{4}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(4x5−5x4)=∞\lim_{x \to \infty}\left(4 x^{5} - 5 x^{4}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 4*x^5 - 5*x^4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(4x5−5x4x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x^{5} - 5 x^{4}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(4x5−5x4x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x^{5} - 5 x^{4}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
4x5−5x4=−4x5−5x44 x^{5} - 5 x^{4} = - 4 x^{5} - 5 x^{4}
- No
4x5−5x4=4x5+5x44 x^{5} - 5 x^{4} = 4 x^{5} + 5 x^{4}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=4x^5-5x^4
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