Sr Examen

Otras calculadoras

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • 1-x^3 1-x^3
  • x^2+5 x^2+5
  • (x^3+4)/x^2 (x^3+4)/x^2
  • x^3-3*x^2+4 x^3-3*x^2+4
  • Integral de d{x}:
  • x^3/(x^2-3*x+2)

  • Expresiones idénticas

  • x^ tres /(x^ dos - tres *x+ dos)
  • x al cubo dividir por (x al cuadrado menos 3 multiplicar por x más 2)
  • x en el grado tres dividir por (x en el grado dos menos tres multiplicar por x más dos)
  • x3/(x2-3*x+2)
  • x3/x2-3*x+2
  • x³/(x²-3*x+2)
  • x en el grado 3/(x en el grado 2-3*x+2)
  • x^3/(x^2-3x+2)
  • x3/(x2-3x+2)
  • x3/x2-3x+2
  • x^3/x^2-3x+2
  • x^3 dividir por (x^2-3*x+2)

  • Expresiones semejantes

  • x^3/(x^2-3*x-2)
  • x^3/(x^2+3*x+2)
Trazado el gráfico de la función/ x^3/(x^2-3*x+2)

Gráfico de la función y = x^3/(x^2-3*x+2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             3     
            x      
f(x) = ------------
        2          
       x  - 3*x + 2
f(x)=x3(x2−3x)+2f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2} 
f = x^3/(x^2 - 3*x + 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x3(x2−3x)+2=0\frac{x^{3}}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3/(x^2 - 3*x + 2).
03(02−0)+2\frac{0^{3}}{\left(0^{2} - 0\right) + 2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x3(3−2x)((x2−3x)+2)2+3x2(x2−3x)+2=0\frac{x^{3} \left(3 - 2 x\right)}{\left(\left(x^{2} - 3 x\right) + 2\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=3−3x_{2} = 3 - \sqrt{3}
x3=3+3x_{3} = \sqrt{3} + 3
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

                               3        
                    /      ___\         
       ___          \3 - \/ 3 /         
(3 - \/ 3, ---------------------------)
                            2           
                 /      ___\        ___ 
            -7 + \3 - \/ 3 /  + 3*\/ 3  

                               3        
                    /      ___\         
       ___          \3 + \/ 3 /         
(3 + \/ 3, ---------------------------)
                            2           
                 /      ___\        ___ 
            -7 + \3 + \/ 3 /  - 3*\/ 3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3+3x_{1} = \sqrt{3} + 3
Puntos máximos de la función:
x1=3−3x_{1} = 3 - \sqrt{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,3−3]∪[3+3,∞)\left(-\infty, 3 - \sqrt{3}\right] \cup \left[\sqrt{3} + 3, \infty\right)
Crece en los intervalos
[3−3,3+3]\left[3 - \sqrt{3}, \sqrt{3} + 3\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2x(x2((2x−3)2x2−3x+2−1)x2−3x+2−3x(2x−3)x2−3x+2+3)x2−3x+2=0\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 3 x + 2} - 1\right)}{x^{2} - 3 x + 2} - \frac{3 x \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 3 x + 2} + 3\right)}{x^{2} - 3 x + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1
x2=2x_{2} = 2

lim⁡x→1−(2x(x2((2x−3)2x2−3x+2−1)x2−3x+2−3x(2x−3)x2−3x+2+3)x2−3x+2)=∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 3 x + 2} - 1\right)}{x^{2} - 3 x + 2} - \frac{3 x \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 3 x + 2} + 3\right)}{x^{2} - 3 x + 2}\right) = \infty
lim⁡x→1+(2x(x2((2x−3)2x2−3x+2−1)x2−3x+2−3x(2x−3)x2−3x+2+3)x2−3x+2)=−∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 3 x + 2} - 1\right)}{x^{2} - 3 x + 2} - \frac{3 x \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 3 x + 2} + 3\right)}{x^{2} - 3 x + 2}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=1x_{1} = 1
- es el punto de flexión
lim⁡x→2−(2x(x2((2x−3)2x2−3x+2−1)x2−3x+2−3x(2x−3)x2−3x+2+3)x2−3x+2)=−∞\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 3 x + 2} - 1\right)}{x^{2} - 3 x + 2} - \frac{3 x \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 3 x + 2} + 3\right)}{x^{2} - 3 x + 2}\right) = -\infty
lim⁡x→2+(2x(x2((2x−3)2x2−3x+2−1)x2−3x+2−3x(2x−3)x2−3x+2+3)x2−3x+2)=∞\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{x^{2} \left(\frac{\left(2 x - 3\right)^{2}}{x^{2} - 3 x + 2} - 1\right)}{x^{2} - 3 x + 2} - \frac{3 x \left(2 x - 3\right)}{x^{2} - 3 x + 2} + 3\right)}{x^{2} - 3 x + 2}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=2x_{2} = 2
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
x2=2x_{2} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x3(x2−3x)+2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x3(x2−3x)+2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3/(x^2 - 3*x + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2(x2−3x)+2)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞(x2(x2−3x)+2)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x3(x2−3x)+2=−x3x2+3x+2\frac{x^{3}}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2} = - \frac{x^{3}}{x^{2} + 3 x + 2}
- No
x3(x2−3x)+2=x3x2+3x+2\frac{x^{3}}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 2} = \frac{x^{3}}{x^{2} + 3 x + 2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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