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(x^2-1)(x^4+2)
Trazado el gráfico de la función/ (x^2-1)(x^4+2)

Gráfico de la función y = (x^2-1)(x^4+2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       / 2    \ / 4    \
f(x) = \x  - 1/*\x  + 2/
f(x)=(x2−1)(x4+2)f{\left(x \right)} = \left(x^{2} - 1\right) \left(x^{4} + 2\right) 
f = (x^2 - 1)*(x^4 + 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102000000-1000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2−1)(x4+2)=0\left(x^{2} - 1\right) \left(x^{4} + 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=−1x_{2} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 - 1)*(x^4 + 2).
(−1+02)(04+2)\left(-1 + 0^{2}\right) \left(0^{4} + 2\right)
Resultado:
f(0)=−2f{\left(0 \right)} = -2
Punto:
(0, -2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4x3(x2−1)+2x(x4+2)=04 x^{3} \left(x^{2} - 1\right) + 2 x \left(x^{4} + 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, -2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(9x4+6x2(x2−1)+2)=02 \left(9 x^{4} + 6 x^{2} \left(x^{2} - 1\right) + 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x2−1)(x4+2))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} - 1\right) \left(x^{4} + 2\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x2−1)(x4+2))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} - 1\right) \left(x^{4} + 2\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 1)*(x^4 + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2−1)(x4+2)x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 1\right) \left(x^{4} + 2\right)}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x2−1)(x4+2)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 1\right) \left(x^{4} + 2\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2−1)(x4+2)=(x2−1)(x4+2)\left(x^{2} - 1\right) \left(x^{4} + 2\right) = \left(x^{2} - 1\right) \left(x^{4} + 2\right)
- Sí
(x2−1)(x4+2)=−(x2−1)(x4+2)\left(x^{2} - 1\right) \left(x^{4} + 2\right) = - \left(x^{2} - 1\right) \left(x^{4} + 2\right)
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = (x^2-1)(x^4+2)
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