Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
-x^4+4*x^2-3
-
(x^4-(3/2)x^3)/((x+2)^3)
-
((x^4)/4)-8*x+2
-
(x^4-8*x)/4
-
Expresiones idénticas
- (x^ cuatro -(tres / dos)x^ tres)/((x+ dos)^ tres)
- (x en el grado 4 menos (3 dividir por 2)x al cubo ) dividir por ((x más 2) al cubo )
- (x en el grado cuatro menos (tres dividir por dos)x en el grado tres) dividir por ((x más dos) en el grado tres)
- (x4-(3/2)x3)/((x+2)3)
- x4-3/2x3/x+23
- (x⁴-(3/2)x³)/((x+2)³)
- (x en el grado 4-(3/2)x en el grado 3)/((x+2) en el grado 3)
- x^4-3/2x^3/x+2^3
- (x^4-(3 dividir por 2)x^3) dividir por ((x+2)^3)
-
Expresiones semejantes
- (x^4-(3/2)x^3)/((x-2)^3)
- (x^4+(3/2)x^3)/((x+2)^3)
Gráfico de la función y = (x^4-(3/2)x^3)/((x+2)^3)
Solución
Ha introducido
[src]
3
4 3*x
x - ----
2
f(x) = ---------
3
(x + 2)
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{4} - \frac{3 x^{3}}{2}}{\left(x + 2\right)^{3}}$$
f = (x^4 - 3*x^3/2)/(x + 2)^3
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{1} = -2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{4} - \frac{3 x^{3}}{2}}{\left(x + 2\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{3}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.5$$
$$x_{2} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{4} - \frac{3 x^{3}}{2}}{\left(x + 2\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{3}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.5$$
$$x_{2} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{4 x^{3} - \frac{9 x^{2}}{2}}{\left(x + 2\right)^{3}} - \frac{3 \left(x^{4} - \frac{3 x^{3}}{2}\right)}{\left(x + 2\right)^{4}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -9$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -9$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -9\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[-9, 1\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{4 x^{3} - \frac{9 x^{2}}{2}}{\left(x + 2\right)^{3}} - \frac{3 \left(x^{4} - \frac{3 x^{3}}{2}\right)}{\left(x + 2\right)^{4}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -9$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Signos de extremos en los puntos:
-2187
(-9, ------)
98 (0, 0)
(1, -1/54)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -9$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -9\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[-9, 1\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{3 x \left(\frac{2 x^{2} \left(2 x - 3\right)}{\left(x + 2\right)^{2}} + 4 x - \frac{x \left(8 x - 9\right)}{x + 2} - 3\right)}{\left(x + 2\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{6}{11}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{3 x \left(\frac{2 x^{2} \left(2 x - 3\right)}{\left(x + 2\right)^{2}} + 4 x - \frac{x \left(8 x - 9\right)}{x + 2} - 3\right)}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{3 x \left(\frac{2 x^{2} \left(2 x - 3\right)}{\left(x + 2\right)^{2}} + 4 x - \frac{x \left(8 x - 9\right)}{x + 2} - 3\right)}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{6}{11}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \frac{6}{11}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{3 x \left(\frac{2 x^{2} \left(2 x - 3\right)}{\left(x + 2\right)^{2}} + 4 x - \frac{x \left(8 x - 9\right)}{x + 2} - 3\right)}{\left(x + 2\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{6}{11}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{3 x \left(\frac{2 x^{2} \left(2 x - 3\right)}{\left(x + 2\right)^{2}} + 4 x - \frac{x \left(8 x - 9\right)}{x + 2} - 3\right)}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{3 x \left(\frac{2 x^{2} \left(2 x - 3\right)}{\left(x + 2\right)^{2}} + 4 x - \frac{x \left(8 x - 9\right)}{x + 2} - 3\right)}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{6}{11}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \frac{6}{11}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{1} = -2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} - \frac{3 x^{3}}{2}}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - \frac{3 x^{3}}{2}}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} - \frac{3 x^{3}}{2}}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - \frac{3 x^{3}}{2}}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^4 - 3*x^3/2)/(x + 2)^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} - \frac{3 x^{3}}{2}}{x \left(x + 2\right)^{3}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - \frac{3 x^{3}}{2}}{x \left(x + 2\right)^{3}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} - \frac{3 x^{3}}{2}}{x \left(x + 2\right)^{3}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - \frac{3 x^{3}}{2}}{x \left(x + 2\right)^{3}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{4} - \frac{3 x^{3}}{2}}{\left(x + 2\right)^{3}} = \frac{x^{4} + \frac{3 x^{3}}{2}}{\left(2 - x\right)^{3}}$$
- No
$$\frac{x^{4} - \frac{3 x^{3}}{2}}{\left(x + 2\right)^{3}} = - \frac{x^{4} + \frac{3 x^{3}}{2}}{\left(2 - x\right)^{3}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{4} - \frac{3 x^{3}}{2}}{\left(x + 2\right)^{3}} = \frac{x^{4} + \frac{3 x^{3}}{2}}{\left(2 - x\right)^{3}}$$
- No
$$\frac{x^{4} - \frac{3 x^{3}}{2}}{\left(x + 2\right)^{3}} = - \frac{x^{4} + \frac{3 x^{3}}{2}}{\left(2 - x\right)^{3}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico