Sr Examen

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  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • x-x^3 x-x^3
  • x^4-x^3 x^4-x^3
  • x^4-2x^2 x^4-2x^2
  • x^2-3*x+1 x^2-3*x+1
  • Integral de d{x}:
  • (x-1)/(x^2-9)

  • Expresiones idénticas

  • (x- uno)/(x^ dos - nueve)
  • (x menos 1) dividir por (x al cuadrado menos 9)
  • (x menos uno) dividir por (x en el grado dos menos nueve)
  • (x-1)/(x2-9)
  • x-1/x2-9
  • (x-1)/(x²-9)
  • (x-1)/(x en el grado 2-9)
  • x-1/x^2-9
  • (x-1) dividir por (x^2-9)

  • Expresiones semejantes

  • (x+1)/(x^2-9)
  • (x-1)/(x^2+9)
Trazado el gráfico de la función/ (x-1)/(x^2-9)

Gráfico de la función y = (x-1)/(x^2-9)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       x - 1 
f(x) = ------
        2    
       x  - 9
f(x)=x−1x2−9f{\left(x \right)} = \frac{x - 1}{x^{2} - 9} 
f = (x - 1)/(x^2 - 9)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−3x_{1} = -3
x2=3x_{2} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x−1x2−9=0\frac{x - 1}{x^{2} - 9} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x - 1)/(x^2 - 9).
−1−9+02- \frac{1}{-9 + 0^{2}}
Resultado:
f(0)=19f{\left(0 \right)} = \frac{1}{9}
Punto:
(0, 1/9)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x(x−1)(x2−9)2+1x2−9=0- \frac{2 x \left(x - 1\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 9} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−2x+(x−1)(4x2x2−9−1))(x2−9)2=0\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2⋅223+1+223x_{1} = - 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} + 1 + 2 \sqrt[3]{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−3x_{1} = -3
x2=3x_{2} = 3

lim⁡x→−3−(2(−2x+(x−1)(4x2x2−9−1))(x2−9)2)=−∞\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}}\right) = -\infty
lim⁡x→−3+(2(−2x+(x−1)(4x2x2−9−1))(x2−9)2)=∞\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−3x_{1} = -3
- es el punto de flexión
lim⁡x→3−(2(−2x+(x−1)(4x2x2−9−1))(x2−9)2)=−∞\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}}\right) = -\infty
lim⁡x→3+(2(−2x+(x−1)(4x2x2−9−1))(x2−9)2)=∞\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 1\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=3x_{2} = 3
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−2⋅223+1+223]\left(-\infty, - 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} + 1 + 2 \sqrt[3]{2}\right]
Convexa en los intervalos
[−2⋅223+1+223,∞)\left[- 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} + 1 + 2 \sqrt[3]{2}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−3x_{1} = -3
x2=3x_{2} = 3
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x−1x2−9)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 1}{x^{2} - 9}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(x−1x2−9)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{x^{2} - 9}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x - 1)/(x^2 - 9), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x−1x(x2−9))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 1}{x \left(x^{2} - 9\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x−1x(x2−9))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{x \left(x^{2} - 9\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x−1x2−9=−x−1x2−9\frac{x - 1}{x^{2} - 9} = \frac{- x - 1}{x^{2} - 9}
- No
x−1x2−9=−−x−1x2−9\frac{x - 1}{x^{2} - 9} = - \frac{- x - 1}{x^{2} - 9}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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