Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(2y-y^2)

Gráfico de la función y = sqrt(2y-y^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          __________
         /        2 
f(y) = \/  2*y - y
f(y)=−y2+2yf{\left(y \right)} = \sqrt{- y^{2} + 2 y} 
f = sqrt(-y^2 + 2*y)
Gráfico de la función
0.02.00.20.40.60.81.01.21.41.61.802
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Y con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−y2+2y=0\sqrt{- y^{2} + 2 y} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Y:

Solución analítica
y1=0y_{1} = 0
y2=2y_{2} = 2
Solución numérica
y1=2y_{1} = 2
y2=0y_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando y es igual a 0:
sustituimos y = 0 en sqrt(2*y - y^2).
0⋅2−02\sqrt{0 \cdot 2 - 0^{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddyf(y)=0\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddyf(y)=\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} =
primera derivada
1−y−y2+2y=0\frac{1 - y}{\sqrt{- y^{2} + 2 y}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
y1=1y_{1} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(1, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
y1=1y_{1} = 1
Decrece en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Crece en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dy2f(y)=0\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dy2f(y)=\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} =
segunda derivada
−1+(y−1)2y(2−y)y(2−y)=0- \frac{1 + \frac{\left(y - 1\right)^{2}}{y \left(2 - y\right)}}{\sqrt{y \left(2 - y\right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con y->+oo y y->-oo
lim⁡y→−∞−y2+2y=∞i\lim_{y \to -\infty} \sqrt{- y^{2} + 2 y} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡y→∞−y2+2y=∞i\lim_{y \to \infty} \sqrt{- y^{2} + 2 y} = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(2*y - y^2), dividida por y con y->+oo y y ->-oo
lim⁡y→−∞(−y2+2yy)=−i\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{- y^{2} + 2 y}}{y}\right) = - i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−iyy = - i y
lim⁡y→∞(−y2+2yy)=i\lim_{y \to \infty}\left(\frac{\sqrt{- y^{2} + 2 y}}{y}\right) = i
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=iyy = i y
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-y) и f = -f(-y).
Pues, comprobamos:
−y2+2y=−y2−2y\sqrt{- y^{2} + 2 y} = \sqrt{- y^{2} - 2 y}
- No
−y2+2y=−−y2−2y\sqrt{- y^{2} + 2 y} = - \sqrt{- y^{2} - 2 y}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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