Sr Examen

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((x+2)(x^2+6x+4))/(x+1)^2
Trazado el gráfico de la función/ ((x+2)(x^2+6x+4))/(x+1)^2

Gráfico de la función y = ((x+2)(x^2+6x+4))/(x+1)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
               / 2          \
       (x + 2)*\x  + 6*x + 4/
f(x) = ----------------------
                     2       
              (x + 1)
f(x)=(x+2)((x2+6x)+4)(x+1)2f{\left(x \right)} = \frac{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} 
f = ((x + 2)*(x^2 + 6*x + 4))/(x + 1)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x+2)((x2+6x)+4)(x+1)2=0\frac{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = -2
x2=−3−5x_{2} = -3 - \sqrt{5}
x3=−3+5x_{3} = -3 + \sqrt{5}
Solución numérica
x1=−2x_{1} = -2
x2=−5.23606797749979x_{2} = -5.23606797749979
x3=−0.76393202250021x_{3} = -0.76393202250021
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x + 2)*(x^2 + 6*x + 4))/(x + 1)^2.
2((02+0⋅6)+4)12\frac{2 \left(\left(0^{2} + 0 \cdot 6\right) + 4\right)}{1^{2}}
Resultado:
f(0)=8f{\left(0 \right)} = 8
Punto:
(0, 8)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(−2x−2)(x+2)((x2+6x)+4)(x+1)4+x2+6x+(x+2)(2x+6)+4(x+1)2=0\frac{\left(- 2 x - 2\right) \left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{4}} + \frac{x^{2} + 6 x + \left(x + 2\right) \left(2 x + 6\right) + 4}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−3x_{1} = -3
x2=0x_{2} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(-3, 5/4)

(0, 8)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=−3x_{1} = -3
Decrece en los intervalos
(−∞,−3]∪[0,∞)\left(-\infty, -3\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−3,0]\left[-3, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3x+8−2(x2+6x+2(x+2)(x+3)+4)x+1+3(x+2)(x2+6x+4)(x+1)2)(x+1)2=0\frac{2 \left(3 x + 8 - \frac{2 \left(x^{2} + 6 x + 2 \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) + 4\right)}{x + 1} + \frac{3 \left(x + 2\right) \left(x^{2} + 6 x + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1

lim⁡x→−1−(2(3x+8−2(x2+6x+2(x+2)(x+3)+4)x+1+3(x+2)(x2+6x+4)(x+1)2)(x+1)2)=−∞\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(3 x + 8 - \frac{2 \left(x^{2} + 6 x + 2 \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) + 4\right)}{x + 1} + \frac{3 \left(x + 2\right) \left(x^{2} + 6 x + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty
lim⁡x→−1+(2(3x+8−2(x2+6x+2(x+2)(x+3)+4)x+1+3(x+2)(x2+6x+4)(x+1)2)(x+1)2)=−∞\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(3 x + 8 - \frac{2 \left(x^{2} + 6 x + 2 \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) + 4\right)}{x + 1} + \frac{3 \left(x + 2\right) \left(x^{2} + 6 x + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x+2)((x2+6x)+4)(x+1)2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x+2)((x2+6x)+4)(x+1)2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x + 2)*(x^2 + 6*x + 4))/(x + 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x+2)((x2+6x)+4)x(x+1)2)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 4\right)}{x \left(x + 1\right)^{2}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞((x+2)((x2+6x)+4)x(x+1)2)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 4\right)}{x \left(x + 1\right)^{2}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x+2)((x2+6x)+4)(x+1)2=(2−x)(x2−6x+4)(1−x)2\frac{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = \frac{\left(2 - x\right) \left(x^{2} - 6 x + 4\right)}{\left(1 - x\right)^{2}}
- No
(x+2)((x2+6x)+4)(x+1)2=−(2−x)(x2−6x+4)(1−x)2\frac{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = - \frac{\left(2 - x\right) \left(x^{2} - 6 x + 4\right)}{\left(1 - x\right)^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = ((x+2)(x^2+6x+4))/(x+1)^2
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