Sr Examen

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((x+2)(x^2+6x+4))/(x+1)^2

Gráfico de la función y = ((x+2)(x^2+6x+4))/(x+1)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
               / 2          \
       (x + 2)*\x  + 6*x + 4/
f(x) = ----------------------
                     2       
              (x + 1)        
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}$$
f = ((x + 2)*(x^2 + 6*x + 4))/(x + 1)^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -3 - \sqrt{5}$$
$$x_{3} = -3 + \sqrt{5}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -5.23606797749979$$
$$x_{3} = -0.76393202250021$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x + 2)*(x^2 + 6*x + 4))/(x + 1)^2.
$$\frac{2 \left(\left(0^{2} + 0 \cdot 6\right) + 4\right)}{1^{2}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 8$$
Punto:
(0, 8)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(- 2 x - 2\right) \left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{4}} + \frac{x^{2} + 6 x + \left(x + 2\right) \left(2 x + 6\right) + 4}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
(-3, 5/4)

(0, 8)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -3$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -3\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[-3, 0\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(3 x + 8 - \frac{2 \left(x^{2} + 6 x + 2 \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) + 4\right)}{x + 1} + \frac{3 \left(x + 2\right) \left(x^{2} + 6 x + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$

$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(3 x + 8 - \frac{2 \left(x^{2} + 6 x + 2 \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) + 4\right)}{x + 1} + \frac{3 \left(x + 2\right) \left(x^{2} + 6 x + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(3 x + 8 - \frac{2 \left(x^{2} + 6 x + 2 \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) + 4\right)}{x + 1} + \frac{3 \left(x + 2\right) \left(x^{2} + 6 x + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x + 2)*(x^2 + 6*x + 4))/(x + 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 4\right)}{x \left(x + 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 4\right)}{x \left(x + 1\right)^{2}}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = \frac{\left(2 - x\right) \left(x^{2} - 6 x + 4\right)}{\left(1 - x\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{\left(x + 2\right) \left(\left(x^{2} + 6 x\right) + 4\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = - \frac{\left(2 - x\right) \left(x^{2} - 6 x + 4\right)}{\left(1 - x\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = ((x+2)(x^2+6x+4))/(x+1)^2