Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x^2)+3x+2/(x+2)

Gráfico de la función y = (x^2)+3x+2/(x+2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2           2  
f(x) = x  + 3*x + -----
                  x + 2
f(x)=(x2+3x)+2x+2f{\left(x \right)} = \left(x^{2} + 3 x\right) + \frac{2}{x + 2} 
f = x^2 + 3*x + 2/(x + 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200200
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−2x_{1} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2+3x)+2x+2=0\left(x^{2} + 3 x\right) + \frac{2}{x + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=−2−2x_{2} = -2 - \sqrt{2}
x3=−2+2x_{3} = -2 + \sqrt{2}
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
x2=−3.41421356237309x_{2} = -3.41421356237309
x3=−0.585786437626905x_{3} = -0.585786437626905
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2 + 3*x + 2/(x + 2).
(02+0⋅3)+22\left(0^{2} + 0 \cdot 3\right) + \frac{2}{2}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x+3−2(x+2)2=02 x + 3 - \frac{2}{\left(x + 2\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−116+13633036+1092163+33036+1092163x_{1} = - \frac{11}{6} + \frac{1}{36 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{330}}{36} + \frac{109}{216}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{330}}{36} + \frac{109}{216}}
Signos de extremos en los puntos:
                                                                                                                      2                                                                                                         
             _______________                                   /            _______________                          \                                                                _______________                           
            /         _____                                    |           /         _____                           |                                                               /         _____                            
   11      /  109   \/ 330                1               11   |  11      /  109   \/ 330                1           |                            2                                 /  109   \/ 330                1            
(- -- + 3 /   --- + -------  + -----------------------, - -- + |- -- + 3 /   --- + -------  + -----------------------|  + -------------------------------------------------- + 3*3 /   --- + -------  + -----------------------)
   6    \/    216      36              _______________    2    |  6    \/    216      36              _______________|             _______________                               \/    216      36              _______________ 
                                      /         _____          |                                     /         _____ |            /         _____                                                              /         _____  
                                     /  109   \/ 330           |                                    /  109   \/ 330  |    1      /  109   \/ 330                1                                             /  109   \/ 330   
                               36*3 /   --- + -------          |                              36*3 /   --- + ------- |    - + 3 /   --- + -------  + -----------------------                            12*3 /   --- + -------  
                                  \/    216      36            \                                 \/    216      36   /    6   \/    216      36              _______________                               \/    216      36    
                                                                                                                                                            /         _____                                                     
                                                                                                                                                           /  109   \/ 330                                                      
                                                                                                                                                     36*3 /   --- + -------                                                     
                                                                                                                                                        \/    216      36


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−116+13633036+1092163+33036+1092163x_{1} = - \frac{11}{6} + \frac{1}{36 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{330}}{36} + \frac{109}{216}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{330}}{36} + \frac{109}{216}}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−116+13633036+1092163+33036+1092163,∞)\left[- \frac{11}{6} + \frac{1}{36 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{330}}{36} + \frac{109}{216}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{330}}{36} + \frac{109}{216}}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−116+13633036+1092163+33036+1092163]\left(-\infty, - \frac{11}{6} + \frac{1}{36 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{330}}{36} + \frac{109}{216}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{330}}{36} + \frac{109}{216}}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(1+2(x+2)3)=02 \left(1 + \frac{2}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2−23x_{1} = -2 - \sqrt[3]{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−2x_{1} = -2

lim⁡x→−2−(2(1+2(x+2)3))=−∞\lim_{x \to -2^-}\left(2 \left(1 + \frac{2}{\left(x + 2\right)^{3}}\right)\right) = -\infty
lim⁡x→−2+(2(1+2(x+2)3))=∞\lim_{x \to -2^+}\left(2 \left(1 + \frac{2}{\left(x + 2\right)^{3}}\right)\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−2x_{1} = -2
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−2−23]\left(-\infty, -2 - \sqrt[3]{2}\right]
Convexa en los intervalos
[−2−23,∞)\left[-2 - \sqrt[3]{2}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−2x_{1} = -2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x2+3x)+2x+2)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} + 3 x\right) + \frac{2}{x + 2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x2+3x)+2x+2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} + 3 x\right) + \frac{2}{x + 2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2 + 3*x + 2/(x + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2+3x)+2x+2x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 3 x\right) + \frac{2}{x + 2}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x2+3x)+2x+2x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 3 x\right) + \frac{2}{x + 2}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2+3x)+2x+2=x2−3x+22−x\left(x^{2} + 3 x\right) + \frac{2}{x + 2} = x^{2} - 3 x + \frac{2}{2 - x}
- No
(x2+3x)+2x+2=−x2+3x−22−x\left(x^{2} + 3 x\right) + \frac{2}{x + 2} = - x^{2} + 3 x - \frac{2}{2 - x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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