Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=(x+1)^3
-
2*x^2-6*x
-
y=5x
-
y=4^x
-
Expresiones idénticas
- (x^ dos)+3x+ dos /(x+ dos)
- (x al cuadrado ) más 3x más 2 dividir por (x más 2)
- (x en el grado dos) más 3x más dos dividir por (x más dos)
- (x2)+3x+2/(x+2)
- x2+3x+2/x+2
- (x²)+3x+2/(x+2)
- (x en el grado 2)+3x+2/(x+2)
- x^2+3x+2/x+2
- (x^2)+3x+2 dividir por (x+2)
-
Expresiones semejantes
- (x^2)+3x+2/(x-2)
- (x^2)-3x+2/(x+2)
- (x^2)+3x-2/(x+2)
Gráfico de la función y = (x^2)+3x+2/(x+2)
Solución
Ha introducido
[src]
2 2
f(x) = x + 3*x + -----
x + 2
$$f{\left(x \right)} = \left(x^{2} + 3 x\right) + \frac{2}{x + 2}$$
f = x^2 + 3*x + 2/(x + 2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{1} = -2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x^{2} + 3 x\right) + \frac{2}{x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = -2 - \sqrt{2}$$
$$x_{3} = -2 + \sqrt{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = -3.41421356237309$$
$$x_{3} = -0.585786437626905$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x^{2} + 3 x\right) + \frac{2}{x + 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = -2 - \sqrt{2}$$
$$x_{3} = -2 + \sqrt{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = -3.41421356237309$$
$$x_{3} = -0.585786437626905$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x + 3 - \frac{2}{\left(x + 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{11}{6} + \frac{1}{36 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{330}}{36} + \frac{109}{216}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{330}}{36} + \frac{109}{216}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{11}{6} + \frac{1}{36 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{330}}{36} + \frac{109}{216}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{330}}{36} + \frac{109}{216}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{11}{6} + \frac{1}{36 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{330}}{36} + \frac{109}{216}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{330}}{36} + \frac{109}{216}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{11}{6} + \frac{1}{36 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{330}}{36} + \frac{109}{216}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{330}}{36} + \frac{109}{216}}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x + 3 - \frac{2}{\left(x + 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{11}{6} + \frac{1}{36 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{330}}{36} + \frac{109}{216}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{330}}{36} + \frac{109}{216}}$$
Signos de extremos en los puntos:
2
_______________ / _______________ \ _______________
/ _____ | / _____ | / _____
11 / 109 \/ 330 1 11 | 11 / 109 \/ 330 1 | 2 / 109 \/ 330 1
(- -- + 3 / --- + ------- + -----------------------, - -- + |- -- + 3 / --- + ------- + -----------------------| + -------------------------------------------------- + 3*3 / --- + ------- + -----------------------)
6 \/ 216 36 _______________ 2 | 6 \/ 216 36 _______________| _______________ \/ 216 36 _______________
/ _____ | / _____ | / _____ / _____
/ 109 \/ 330 | / 109 \/ 330 | 1 / 109 \/ 330 1 / 109 \/ 330
36*3 / --- + ------- | 36*3 / --- + ------- | - + 3 / --- + ------- + ----------------------- 12*3 / --- + -------
\/ 216 36 \ \/ 216 36 / 6 \/ 216 36 _______________ \/ 216 36
/ _____
/ 109 \/ 330
36*3 / --- + -------
\/ 216 36 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{11}{6} + \frac{1}{36 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{330}}{36} + \frac{109}{216}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{330}}{36} + \frac{109}{216}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{11}{6} + \frac{1}{36 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{330}}{36} + \frac{109}{216}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{330}}{36} + \frac{109}{216}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{11}{6} + \frac{1}{36 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{330}}{36} + \frac{109}{216}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{330}}{36} + \frac{109}{216}}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(1 + \frac{2}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 - \sqrt[3]{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(2 \left(1 + \frac{2}{\left(x + 2\right)^{3}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(2 \left(1 + \frac{2}{\left(x + 2\right)^{3}}\right)\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -2 - \sqrt[3]{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-2 - \sqrt[3]{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(1 + \frac{2}{\left(x + 2\right)^{3}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2 - \sqrt[3]{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(2 \left(1 + \frac{2}{\left(x + 2\right)^{3}}\right)\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(2 \left(1 + \frac{2}{\left(x + 2\right)^{3}}\right)\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -2 - \sqrt[3]{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-2 - \sqrt[3]{2}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{1} = -2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} + 3 x\right) + \frac{2}{x + 2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} + 3 x\right) + \frac{2}{x + 2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} + 3 x\right) + \frac{2}{x + 2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} + 3 x\right) + \frac{2}{x + 2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2 + 3*x + 2/(x + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 3 x\right) + \frac{2}{x + 2}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 3 x\right) + \frac{2}{x + 2}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 3 x\right) + \frac{2}{x + 2}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 3 x\right) + \frac{2}{x + 2}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x^{2} + 3 x\right) + \frac{2}{x + 2} = x^{2} - 3 x + \frac{2}{2 - x}$$
- No
$$\left(x^{2} + 3 x\right) + \frac{2}{x + 2} = - x^{2} + 3 x - \frac{2}{2 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(x^{2} + 3 x\right) + \frac{2}{x + 2} = x^{2} - 3 x + \frac{2}{2 - x}$$
- No
$$\left(x^{2} + 3 x\right) + \frac{2}{x + 2} = - x^{2} + 3 x - \frac{2}{2 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar