Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ 3x^4+4x^3-12x^2-12

Gráfico de la función y = 3x^4+4x^3-12x^2-12

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          4      3       2     
f(x) = 3*x  + 4*x  - 12*x  - 12
f(x)=(−12x2+(3x4+4x3))−12f{\left(x \right)} = \left(- 12 x^{2} + \left(3 x^{4} + 4 x^{3}\right)\right) - 12 
f = -12*x^2 + 3*x^4 + 4*x^3 - 12
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5000050000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−12x2+(3x4+4x3))−12=0\left(- 12 x^{2} + \left(3 x^{4} + 4 x^{3}\right)\right) - 12 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−13−−169−9227+4561273+2−9227+4561273+2892+−2−9227+4561273+169−9227+4561273+569+16027−169−9227+4561273+2−9227+4561273+2892x_{1} = - \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{92}{27} + \frac{4 \sqrt{561}}{27}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{92}{27} + \frac{4 \sqrt{561}}{27}} + \frac{28}{9}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{92}{27} + \frac{4 \sqrt{561}}{27}} + \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{92}{27} + \frac{4 \sqrt{561}}{27}}} + \frac{56}{9} + \frac{160}{27 \sqrt{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{92}{27} + \frac{4 \sqrt{561}}{27}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{92}{27} + \frac{4 \sqrt{561}}{27}} + \frac{28}{9}}}}}{2}
x2=−−2−9227+4561273+169−9227+4561273+569+16027−169−9227+4561273+2−9227+4561273+2892−13−−169−9227+4561273+2−9227+4561273+2892x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{92}{27} + \frac{4 \sqrt{561}}{27}} + \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{92}{27} + \frac{4 \sqrt{561}}{27}}} + \frac{56}{9} + \frac{160}{27 \sqrt{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{92}{27} + \frac{4 \sqrt{561}}{27}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{92}{27} + \frac{4 \sqrt{561}}{27}} + \frac{28}{9}}}}}{2} - \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{- \frac{16}{9 \sqrt[3]{- \frac{92}{27} + \frac{4 \sqrt{561}}{27}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{92}{27} + \frac{4 \sqrt{561}}{27}} + \frac{28}{9}}}{2}
Solución numérica
x1=−2.8858436418712x_{1} = -2.8858436418712
x2=1.73582811902728x_{2} = 1.73582811902728
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 3*x^4 + 4*x^3 - 12*x^2 - 12.
−12+((3⋅04+4⋅03)−12⋅02)-12 + \left(\left(3 \cdot 0^{4} + 4 \cdot 0^{3}\right) - 12 \cdot 0^{2}\right)
Resultado:
f(0)=−12f{\left(0 \right)} = -12
Punto:
(0, -12)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
12x3+12x2−24x=012 x^{3} + 12 x^{2} - 24 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2
x2=0x_{2} = 0
x3=1x_{3} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(-2, -44)

(0, -12)

(1, -17)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−2x_{1} = -2
x2=1x_{2} = 1
Puntos máximos de la función:
x2=0x_{2} = 0
Decrece en los intervalos
[−2,0]∪[1,∞)\left[-2, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−2]∪[0,1]\left(-\infty, -2\right] \cup \left[0, 1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
12(3x2+2x−2)=012 \left(3 x^{2} + 2 x - 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−13+73x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}
x2=−73−13x_{2} = - \frac{\sqrt{7}}{3} - \frac{1}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−73−13]∪[−13+73,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{7}}{3} - \frac{1}{3}\right] \cup \left[- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−73−13,−13+73]\left[- \frac{\sqrt{7}}{3} - \frac{1}{3}, - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−12x2+(3x4+4x3))−12)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 12 x^{2} + \left(3 x^{4} + 4 x^{3}\right)\right) - 12\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−12x2+(3x4+4x3))−12)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 12 x^{2} + \left(3 x^{4} + 4 x^{3}\right)\right) - 12\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3*x^4 + 4*x^3 - 12*x^2 - 12, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−12x2+(3x4+4x3))−12x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 12 x^{2} + \left(3 x^{4} + 4 x^{3}\right)\right) - 12}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((−12x2+(3x4+4x3))−12x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 12 x^{2} + \left(3 x^{4} + 4 x^{3}\right)\right) - 12}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−12x2+(3x4+4x3))−12=3x4−4x3−12x2−12\left(- 12 x^{2} + \left(3 x^{4} + 4 x^{3}\right)\right) - 12 = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} - 12
- No
(−12x2+(3x4+4x3))−12=−3x4+4x3+12x2+12\left(- 12 x^{2} + \left(3 x^{4} + 4 x^{3}\right)\right) - 12 = - 3 x^{4} + 4 x^{3} + 12 x^{2} + 12
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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