Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(x-5)+sqrt(5-x)

Gráfico de la función y = sqrt(x-5)+sqrt(5-x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         _______     _______
f(x) = \/ x - 5  + \/ 5 - x
f(x)=5−x+x−5f{\left(x \right)} = \sqrt{5 - x} + \sqrt{x - 5} 
f = sqrt(5 - x) + sqrt(x - 5)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.02-0.02
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
5−x+x−5=0\sqrt{5 - x} + \sqrt{x - 5} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=5x_{1} = 5
Solución numérica
x1=5x_{1} = 5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x - 5) + sqrt(5 - x).
5−0+−5\sqrt{5 - 0} + \sqrt{-5}
Resultado:
f(0)=5+5if{\left(0 \right)} = \sqrt{5} + \sqrt{5} i
Punto:
(0, sqrt(5) + i*sqrt(5))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
12x−5−125−x=0\frac{1}{2 \sqrt{x - 5}} - \frac{1}{2 \sqrt{5 - x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−1(x−5)32+1(5−x)324=0- \frac{\frac{1}{\left(x - 5\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{\left(5 - x\right)^{\frac{3}{2}}}}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(5−x+x−5)=∞sign⁡(1+i)\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{5 - x} + \sqrt{x - 5}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=∞sign⁡(1+i)y = \infty \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}
lim⁡x→∞(5−x+x−5)=∞sign⁡(1+i)\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{5 - x} + \sqrt{x - 5}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=∞sign⁡(1+i)y = \infty \operatorname{sign}{\left(1 + i \right)}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x - 5) + sqrt(5 - x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(5−x+x−5x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{5 - x} + \sqrt{x - 5}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(5−x+x−5x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{5 - x} + \sqrt{x - 5}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
5−x+x−5=−x−5+x+5\sqrt{5 - x} + \sqrt{x - 5} = \sqrt{- x - 5} + \sqrt{x + 5}
- No
5−x+x−5=−−x−5−x+5\sqrt{5 - x} + \sqrt{x - 5} = - \sqrt{- x - 5} - \sqrt{x + 5}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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