Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
e^3*x+10*e^2*x
-
x^11
-
(-cos(2*x)-sin(2*x))*exp(x)
-
5/(x^2-16)
-
Expresiones idénticas
- (x^ dos /(x^ dos - dos))- dos x^2
- (x al cuadrado dividir por (x al cuadrado menos 2)) menos 2x al cuadrado
- (x en el grado dos dividir por (x en el grado dos menos dos)) menos dos x al cuadrado
- (x2/(x2-2))-2x2
- x2/x2-2-2x2
- (x²/(x²-2))-2x²
- (x en el grado 2/(x en el grado 2-2))-2x en el grado 2
- x^2/x^2-2-2x^2
- (x^2 dividir por (x^2-2))-2x^2
-
Expresiones semejantes
- (x^2/(x^2-2))+2x^2
- (x^2/(x^2+2))-2x^2
Gráfico de la función y = (x^2/(x^2-2))-2x^2
Solución
Ha introducido
[src]
2
x 2
f(x) = ------ - 2*x
2
x - 2
$$f{\left(x \right)} = - 2 x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2} - 2}$$
f = -2*x^2 + x^2/(x^2 - 2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1.4142135623731$$
$$x_{2} = 1.4142135623731$$
$$x_{1} = -1.4142135623731$$
$$x_{2} = 1.4142135623731$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- 2 x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2} - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{10}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{10}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1.58113883008419$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1.58113883008419$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- 2 x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2} - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{10}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{10}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1.58113883008419$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1.58113883008419$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x^{3}}{\left(x^{2} - 2\right)^{2}} - 4 x + \frac{2 x}{x^{2} - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x^{3}}{\left(x^{2} - 2\right)^{2}} - 4 x + \frac{2 x}{x^{2} - 2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(\frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} - 2\right)^{3}} - \frac{5 x^{2}}{\left(x^{2} - 2\right)^{2}} - 2 + \frac{1}{x^{2} - 2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2.11944174281149$$
$$x_{2} = 2.11944174281149$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1.4142135623731$$
$$x_{2} = 1.4142135623731$$
$$\lim_{x \to -1.4142135623731^-}\left(2 \left(\frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} - 2\right)^{3}} - \frac{5 x^{2}}{\left(x^{2} - 2\right)^{2}} - 2 + \frac{1}{x^{2} - 2}\right)\right) = 3.65375409332725 \cdot 10^{47}$$
$$\lim_{x \to -1.4142135623731^+}\left(2 \left(\frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} - 2\right)^{3}} - \frac{5 x^{2}}{\left(x^{2} - 2\right)^{2}} - 2 + \frac{1}{x^{2} - 2}\right)\right) = 3.65375409332725 \cdot 10^{47}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 1.4142135623731^-}\left(2 \left(\frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} - 2\right)^{3}} - \frac{5 x^{2}}{\left(x^{2} - 2\right)^{2}} - 2 + \frac{1}{x^{2} - 2}\right)\right) = 3.65375409332725 \cdot 10^{47}$$
$$\lim_{x \to 1.4142135623731^+}\left(2 \left(\frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} - 2\right)^{3}} - \frac{5 x^{2}}{\left(x^{2} - 2\right)^{2}} - 2 + \frac{1}{x^{2} - 2}\right)\right) = 3.65375409332725 \cdot 10^{47}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-2.11944174281149, 2.11944174281149\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -2.11944174281149\right] \cup \left[2.11944174281149, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(\frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} - 2\right)^{3}} - \frac{5 x^{2}}{\left(x^{2} - 2\right)^{2}} - 2 + \frac{1}{x^{2} - 2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -2.11944174281149$$
$$x_{2} = 2.11944174281149$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1.4142135623731$$
$$x_{2} = 1.4142135623731$$
$$\lim_{x \to -1.4142135623731^-}\left(2 \left(\frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} - 2\right)^{3}} - \frac{5 x^{2}}{\left(x^{2} - 2\right)^{2}} - 2 + \frac{1}{x^{2} - 2}\right)\right) = 3.65375409332725 \cdot 10^{47}$$
$$\lim_{x \to -1.4142135623731^+}\left(2 \left(\frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} - 2\right)^{3}} - \frac{5 x^{2}}{\left(x^{2} - 2\right)^{2}} - 2 + \frac{1}{x^{2} - 2}\right)\right) = 3.65375409332725 \cdot 10^{47}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 1.4142135623731^-}\left(2 \left(\frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} - 2\right)^{3}} - \frac{5 x^{2}}{\left(x^{2} - 2\right)^{2}} - 2 + \frac{1}{x^{2} - 2}\right)\right) = 3.65375409332725 \cdot 10^{47}$$
$$\lim_{x \to 1.4142135623731^+}\left(2 \left(\frac{4 x^{4}}{\left(x^{2} - 2\right)^{3}} - \frac{5 x^{2}}{\left(x^{2} - 2\right)^{2}} - 2 + \frac{1}{x^{2} - 2}\right)\right) = 3.65375409332725 \cdot 10^{47}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-2.11944174281149, 2.11944174281149\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -2.11944174281149\right] \cup \left[2.11944174281149, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1.4142135623731$$
$$x_{2} = 1.4142135623731$$
$$x_{1} = -1.4142135623731$$
$$x_{2} = 1.4142135623731$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 2 x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2} - 2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2} - 2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 2 x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2} - 2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2} - 2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2/(x^2 - 2) - 2*x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2} - 2}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2} - 2}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 2 x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2} - 2}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 2 x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2} - 2}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- 2 x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2} - 2} = - 2 x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2} - 2}$$
- Sí
$$- 2 x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2} - 2} = 2 x^{2} - \frac{x^{2}}{x^{2} - 2}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$- 2 x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2} - 2} = - 2 x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2} - 2}$$
- Sí
$$- 2 x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2} - 2} = 2 x^{2} - \frac{x^{2}}{x^{2} - 2}$$
- No
es decir, función
es
par