Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x+4)/e^(x+4)
-
x^3/3-4*x
-
x^3-6*x^2+9*x+1
-
y=x+2
-
Expresiones idénticas
- (x^ tres -4x^ dos)(x^ dos - siete)
- (x al cubo menos 4x al cuadrado )(x al cuadrado menos 7)
- (x en el grado tres menos 4x en el grado dos)(x en el grado dos menos siete)
- (x3-4x2)(x2-7)
- x3-4x2x2-7
- (x³-4x²)(x²-7)
- (x en el grado 3-4x en el grado 2)(x en el grado 2-7)
- x^3-4x^2x^2-7
-
Expresiones semejantes
- (x^3+4x^2)(x^2-7)
- (x^3-4x^2)(x^2+7)
Gráfico de la función y = (x^3-4x^2)(x^2-7)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 3 2\ / 2 \ f(x) = \x - 4*x /*\x - 7/
$$f{\left(x \right)} = \left(x^{2} - 7\right) \left(x^{3} - 4 x^{2}\right)$$
f = (x^2 - 7)*(x^3 - 4*x^2)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x^{2} - 7\right) \left(x^{3} - 4 x^{2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = - \sqrt{7}$$
$$x_{4} = \sqrt{7}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = -2.64575131106459$$
$$x_{4} = 2.64575131106459$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x^{2} - 7\right) \left(x^{3} - 4 x^{2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{3} = - \sqrt{7}$$
$$x_{4} = \sqrt{7}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = -2.64575131106459$$
$$x_{4} = 2.64575131106459$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x \left(x^{3} - 4 x^{2}\right) + \left(x^{2} - 7\right) \left(3 x^{2} - 8 x\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{16}{15} - \frac{\sqrt[3]{\frac{7244}{125} + \frac{3 \sqrt{594195} i}{25}}}{3} - \frac{571}{75 \sqrt[3]{\frac{7244}{125} + \frac{3 \sqrt{594195} i}{25}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{571} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{15 \sqrt{594195}}{7244} \right)}}{3} \right)}}{15} + \frac{16}{15}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{571} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{15 \sqrt{594195}}{7244} \right)}}{3} \right)}}{15} + \frac{16}{15}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{2 \sqrt{571} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{15 \sqrt{594195}}{7244} \right)}}{3} \right)}}{15} + \frac{16}{15}, 0\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x \left(x^{3} - 4 x^{2}\right) + \left(x^{2} - 7\right) \left(3 x^{2} - 8 x\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{16}{15} - \frac{\sqrt[3]{\frac{7244}{125} + \frac{3 \sqrt{594195} i}{25}}}{3} - \frac{571}{75 \sqrt[3]{\frac{7244}{125} + \frac{3 \sqrt{594195} i}{25}}}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
/ 2\ / 3 2\
_______________________ | / _______________________\ | |/ _______________________\ / _______________________\ |
/ ________ | | / ________ | | || / ________ | | / ________ | |
/ 7244 3*I*\/ 594195 | | / 7244 3*I*\/ 594195 | | || / 7244 3*I*\/ 594195 | | / 7244 3*I*\/ 594195 | |
3 / ---- + -------------- | | 3 / ---- + -------------- | | || 3 / ---- + -------------- | | 3 / ---- + -------------- | |
16 571 \/ 125 25 | |16 571 \/ 125 25 | | ||16 571 \/ 125 25 | |16 571 \/ 125 25 | |
(-- - ------------------------------- - ----------------------------, |-7 + |-- - ------------------------------- - ----------------------------| |*||-- - ------------------------------- - ----------------------------| - 4*|-- - ------------------------------- - ----------------------------| |)
15 _______________________ 3 | |15 _______________________ 3 | | ||15 _______________________ 3 | |15 _______________________ 3 | |
/ ________ | | / ________ | | || / ________ | | / ________ | |
/ 7244 3*I*\/ 594195 | | / 7244 3*I*\/ 594195 | | || / 7244 3*I*\/ 594195 | | / 7244 3*I*\/ 594195 | |
75*3 / ---- + -------------- | | 75*3 / ---- + -------------- | | || 75*3 / ---- + -------------- | | 75*3 / ---- + -------------- | |
\/ 125 25 \ \ \/ 125 25 / / \\ \/ 125 25 / \ \/ 125 25 / / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{571} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{15 \sqrt{594195}}{7244} \right)}}{3} \right)}}{15} + \frac{16}{15}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{571} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{15 \sqrt{594195}}{7244} \right)}}{3} \right)}}{15} + \frac{16}{15}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{2 \sqrt{571} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{15 \sqrt{594195}}{7244} \right)}}{3} \right)}}{15} + \frac{16}{15}, 0\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(x^{3} + 2 x^{2} \left(3 x - 8\right) - 4 x^{2} + \left(3 x - 4\right) \left(x^{2} - 7\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{4}{5} - \frac{\sqrt[3]{\frac{162}{125} + \frac{27 \sqrt{24038} i}{100}}}{3} - \frac{201}{50 \sqrt[3]{\frac{162}{125} + \frac{27 \sqrt{24038} i}{100}}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{134} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5 \sqrt{24038}}{24} \right)}}{3} \right)}}{5} + \frac{4}{5}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{134} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5 \sqrt{24038}}{24} \right)}}{3} \right)}}{5} + \frac{4}{5}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(x^{3} + 2 x^{2} \left(3 x - 8\right) - 4 x^{2} + \left(3 x - 4\right) \left(x^{2} - 7\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{4}{5} - \frac{\sqrt[3]{\frac{162}{125} + \frac{27 \sqrt{24038} i}{100}}}{3} - \frac{201}{50 \sqrt[3]{\frac{162}{125} + \frac{27 \sqrt{24038} i}{100}}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{134} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5 \sqrt{24038}}{24} \right)}}{3} \right)}}{5} + \frac{4}{5}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{134} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{5 \sqrt{24038}}{24} \right)}}{3} \right)}}{5} + \frac{4}{5}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} - 7\right) \left(x^{3} - 4 x^{2}\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} - 7\right) \left(x^{3} - 4 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} - 7\right) \left(x^{3} - 4 x^{2}\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} - 7\right) \left(x^{3} - 4 x^{2}\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^3 - 4*x^2)*(x^2 - 7), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 7\right) \left(x^{3} - 4 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 7\right) \left(x^{3} - 4 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 7\right) \left(x^{3} - 4 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 7\right) \left(x^{3} - 4 x^{2}\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x^{2} - 7\right) \left(x^{3} - 4 x^{2}\right) = \left(x^{2} - 7\right) \left(- x^{3} - 4 x^{2}\right)$$
- No
$$\left(x^{2} - 7\right) \left(x^{3} - 4 x^{2}\right) = - \left(x^{2} - 7\right) \left(- x^{3} - 4 x^{2}\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(x^{2} - 7\right) \left(x^{3} - 4 x^{2}\right) = \left(x^{2} - 7\right) \left(- x^{3} - 4 x^{2}\right)$$
- No
$$\left(x^{2} - 7\right) \left(x^{3} - 4 x^{2}\right) = - \left(x^{2} - 7\right) \left(- x^{3} - 4 x^{2}\right)$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar