Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
y=(x+1)^3
y=2x
2*x^3-3*x
3-x^2
Gráfico de la función y = cos2x/x
Solución
Ha introducido
[src]
cos(2*x)
f(x) = --------
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x}$$
f = cos(2*x)/x
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2.35619449019234$$
$$x_{2} = 41.6261026600648$$
$$x_{3} = 99.7455667514759$$
$$x_{4} = -25.9181393921158$$
$$x_{5} = -38.484510006475$$
$$x_{6} = -84.037603483527$$
$$x_{7} = 96.6039740978861$$
$$x_{8} = -55.7632696012188$$
$$x_{9} = -71.4712328691678$$
$$x_{10} = -79.3252145031423$$
$$x_{11} = 49.4800842940392$$
$$x_{12} = 82.4668071567321$$
$$x_{13} = -11.7809724509617$$
$$x_{14} = 60.4756585816035$$
$$x_{15} = -35.3429173528852$$
$$x_{16} = 38.484510006475$$
$$x_{17} = 44.7676953136546$$
$$x_{18} = 76.1836218495525$$
$$x_{19} = -10.2101761241668$$
$$x_{20} = -77.7544181763474$$
$$x_{21} = -101.316363078271$$
$$x_{22} = 16.4933614313464$$
$$x_{23} = 69.9004365423729$$
$$x_{24} = 32.2013246992954$$
$$x_{25} = 74.6128255227576$$
$$x_{26} = 68.329640215578$$
$$x_{27} = -16.4933614313464$$
$$x_{28} = -85.6083998103219$$
$$x_{29} = 22.776546738526$$
$$x_{30} = 644.811892149305$$
$$x_{31} = 11.7809724509617$$
$$x_{32} = -3.92699081698724$$
$$x_{33} = 90.3207887907066$$
$$x_{34} = -82.4668071567321$$
$$x_{35} = -41.6261026600648$$
$$x_{36} = 63.6172512351933$$
$$x_{37} = -27.4889357189107$$
$$x_{38} = -18.0641577581413$$
$$x_{39} = -62.0464549083984$$
$$x_{40} = -19.6349540849362$$
$$x_{41} = -47.9092879672443$$
$$x_{42} = -32.2013246992954$$
$$x_{43} = 24.3473430653209$$
$$x_{44} = -49.4800842940392$$
$$x_{45} = -93.4623814442964$$
$$x_{46} = 47.9092879672443$$
$$x_{47} = -58.9048622548086$$
$$x_{48} = 8.63937979737193$$
$$x_{49} = 77.7544181763474$$
$$x_{50} = 54.1924732744239$$
$$x_{51} = -98.174770424681$$
$$x_{52} = 27.4889357189107$$
$$x_{53} = 19.6349540849362$$
$$x_{54} = 85.6083998103219$$
$$x_{55} = -13.3517687777566$$
$$x_{56} = 55.7632696012188$$
$$x_{57} = -76.1836218495525$$
$$x_{58} = -5.49778714378214$$
$$x_{59} = -68.329640215578$$
$$x_{60} = -60.4756585816035$$
$$x_{61} = 84.037603483527$$
$$x_{62} = 3.92699081698724$$
$$x_{63} = 10.2101761241668$$
$$x_{64} = -69.9004365423729$$
$$x_{65} = 52.621676947629$$
$$x_{66} = -33.7721210260903$$
$$x_{67} = -250.542014123786$$
$$x_{68} = 172.002197784041$$
$$x_{69} = 66.7588438887831$$
$$x_{70} = -54.1924732744239$$
$$x_{71} = 872.577359534565$$
$$x_{72} = 33.7721210260903$$
$$x_{73} = -46.3384916404494$$
$$x_{74} = 46.3384916404494$$
$$x_{75} = -63.6172512351933$$
$$x_{76} = -91.8915851175014$$
$$x_{77} = 2.35619449019234$$
$$x_{78} = 88.7499924639117$$
$$x_{79} = 25.9181393921158$$
$$x_{80} = -24.3473430653209$$
$$x_{81} = 40.0553063332699$$
$$x_{82} = 91.8915851175014$$
$$x_{83} = -90.3207887907066$$
$$x_{84} = 30.6305283725005$$
$$x_{85} = -40.0553063332699$$
$$x_{86} = 98.174770424681$$
$$x_{87} = 18.0641577581413$$
$$x_{88} = 73.0420291959627$$
$$x_{89} = 62.0464549083984$$
$$x_{90} = -99.7455667514759$$
$$x_{91} = -57.3340659280137$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2.35619449019234$$
$$x_{2} = 41.6261026600648$$
$$x_{3} = 99.7455667514759$$
$$x_{4} = -25.9181393921158$$
$$x_{5} = -38.484510006475$$
$$x_{6} = -84.037603483527$$
$$x_{7} = 96.6039740978861$$
$$x_{8} = -55.7632696012188$$
$$x_{9} = -71.4712328691678$$
$$x_{10} = -79.3252145031423$$
$$x_{11} = 49.4800842940392$$
$$x_{12} = 82.4668071567321$$
$$x_{13} = -11.7809724509617$$
$$x_{14} = 60.4756585816035$$
$$x_{15} = -35.3429173528852$$
$$x_{16} = 38.484510006475$$
$$x_{17} = 44.7676953136546$$
$$x_{18} = 76.1836218495525$$
$$x_{19} = -10.2101761241668$$
$$x_{20} = -77.7544181763474$$
$$x_{21} = -101.316363078271$$
$$x_{22} = 16.4933614313464$$
$$x_{23} = 69.9004365423729$$
$$x_{24} = 32.2013246992954$$
$$x_{25} = 74.6128255227576$$
$$x_{26} = 68.329640215578$$
$$x_{27} = -16.4933614313464$$
$$x_{28} = -85.6083998103219$$
$$x_{29} = 22.776546738526$$
$$x_{30} = 644.811892149305$$
$$x_{31} = 11.7809724509617$$
$$x_{32} = -3.92699081698724$$
$$x_{33} = 90.3207887907066$$
$$x_{34} = -82.4668071567321$$
$$x_{35} = -41.6261026600648$$
$$x_{36} = 63.6172512351933$$
$$x_{37} = -27.4889357189107$$
$$x_{38} = -18.0641577581413$$
$$x_{39} = -62.0464549083984$$
$$x_{40} = -19.6349540849362$$
$$x_{41} = -47.9092879672443$$
$$x_{42} = -32.2013246992954$$
$$x_{43} = 24.3473430653209$$
$$x_{44} = -49.4800842940392$$
$$x_{45} = -93.4623814442964$$
$$x_{46} = 47.9092879672443$$
$$x_{47} = -58.9048622548086$$
$$x_{48} = 8.63937979737193$$
$$x_{49} = 77.7544181763474$$
$$x_{50} = 54.1924732744239$$
$$x_{51} = -98.174770424681$$
$$x_{52} = 27.4889357189107$$
$$x_{53} = 19.6349540849362$$
$$x_{54} = 85.6083998103219$$
$$x_{55} = -13.3517687777566$$
$$x_{56} = 55.7632696012188$$
$$x_{57} = -76.1836218495525$$
$$x_{58} = -5.49778714378214$$
$$x_{59} = -68.329640215578$$
$$x_{60} = -60.4756585816035$$
$$x_{61} = 84.037603483527$$
$$x_{62} = 3.92699081698724$$
$$x_{63} = 10.2101761241668$$
$$x_{64} = -69.9004365423729$$
$$x_{65} = 52.621676947629$$
$$x_{66} = -33.7721210260903$$
$$x_{67} = -250.542014123786$$
$$x_{68} = 172.002197784041$$
$$x_{69} = 66.7588438887831$$
$$x_{70} = -54.1924732744239$$
$$x_{71} = 872.577359534565$$
$$x_{72} = 33.7721210260903$$
$$x_{73} = -46.3384916404494$$
$$x_{74} = 46.3384916404494$$
$$x_{75} = -63.6172512351933$$
$$x_{76} = -91.8915851175014$$
$$x_{77} = 2.35619449019234$$
$$x_{78} = 88.7499924639117$$
$$x_{79} = 25.9181393921158$$
$$x_{80} = -24.3473430653209$$
$$x_{81} = 40.0553063332699$$
$$x_{82} = 91.8915851175014$$
$$x_{83} = -90.3207887907066$$
$$x_{84} = 30.6305283725005$$
$$x_{85} = -40.0553063332699$$
$$x_{86} = 98.174770424681$$
$$x_{87} = 18.0641577581413$$
$$x_{88} = 73.0420291959627$$
$$x_{89} = 62.0464549083984$$
$$x_{90} = -99.7455667514759$$
$$x_{91} = -57.3340659280137$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 \sin{\left(2 x \right)}}{x} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 15.6920370089449$$
$$x_{2} = -20.4081046633173$$
$$x_{3} = -9.39820218310508$$
$$x_{4} = 92.6742856871438$$
$$x_{5} = -161.790476456414$$
$$x_{6} = 72.2531710320437$$
$$x_{7} = 42.405605649659$$
$$x_{8} = -51.8314556079832$$
$$x_{9} = 23.5513313851812$$
$$x_{10} = 824.667768414974$$
$$x_{11} = 48.6895517393056$$
$$x_{12} = -37.6924796092674$$
$$x_{13} = -45.5476049347036$$
$$x_{14} = 73.8240409804225$$
$$x_{15} = -6.24322719761189$$
$$x_{16} = 14.1194682876301$$
$$x_{17} = -243.472403844238$$
$$x_{18} = -7.82206418516651$$
$$x_{19} = -1.39919302289194$$
$$x_{20} = -31.4079674444867$$
$$x_{21} = -10.9728064399905$$
$$x_{22} = -23.5513313851812$$
$$x_{23} = 31.4079674444867$$
$$x_{24} = 95.8159667896962$$
$$x_{25} = 58.1151623942039$$
$$x_{26} = 20.4081046633173$$
$$x_{27} = -75.3949078609596$$
$$x_{28} = -89.5325983772724$$
$$x_{29} = -53.4023938097352$$
$$x_{30} = 155.507228715927$$
$$x_{31} = 370.707258737426$$
$$x_{32} = -58.1151623942039$$
$$x_{33} = 59.6860719342923$$
$$x_{34} = 36.1213948523486$$
$$x_{35} = 34.5502838639905$$
$$x_{36} = 12.546455206056$$
$$x_{37} = 80.1074919003334$$
$$x_{38} = -81.678348244891$$
$$x_{39} = 65.9696561768633$$
$$x_{40} = -73.8240409804225$$
$$x_{41} = 50.2605085373433$$
$$x_{42} = 64.3987674147151$$
$$x_{43} = 119.378426667934$$
$$x_{44} = -95.8159667896962$$
$$x_{45} = -39.263541283971$$
$$x_{46} = 37.6924796092674$$
$$x_{47} = 26.6941733108628$$
$$x_{48} = 89.5325983772724$$
$$x_{49} = 87.9617521867404$$
$$x_{50} = 100.528478077876$$
$$x_{51} = 70.6822978112741$$
$$x_{52} = 51.8314556079832$$
$$x_{53} = -43.9766125553363$$
$$x_{54} = -94.2451269755362$$
$$x_{55} = -28.2654900969093$$
$$x_{56} = 29.8367520652203$$
$$x_{57} = 81.678348244891$$
$$x_{58} = 56.5442465635306$$
$$x_{59} = -72.2531710320437$$
$$x_{60} = -21.9797764444477$$
$$x_{61} = -67.54054063921$$
$$x_{62} = 43.9766125553363$$
$$x_{63} = -61.2569756677764$$
$$x_{64} = 45.5476049347036$$
$$x_{65} = 7.82206418516651$$
$$x_{66} = -59.6860719342923$$
$$x_{67} = 6.24322719761189$$
$$x_{68} = 94.2451269755362$$
$$x_{69} = -14.1194682876301$$
$$x_{70} = 78.5366331548744$$
$$x_{71} = -42.405605649659$$
$$x_{72} = -87.9617521867404$$
$$x_{73} = 86.3909041828623$$
$$x_{74} = -83.2492023244609$$
$$x_{75} = -50.2605085373433$$
$$x_{76} = 21.9797764444477$$
$$x_{77} = -36.1213948523486$$
$$x_{78} = -80.1074919003334$$
$$x_{79} = 28.2654900969093$$
$$x_{80} = -97.3868052009628$$
$$x_{81} = -64.3987674147151$$
$$x_{82} = -15.6920370089449$$
$$x_{83} = 67.54054063921$$
$$x_{84} = -65.9696561768633$$
$$x_{85} = 4.65893323089553$$
$$x_{86} = -29.8367520652203$$
$$x_{87} = -86.3909041828623$$
$$x_{88} = -56.5442465635306$$
$$x_{89} = -17.264282877731$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -9.39820218310508$$
$$x_{2} = 92.6742856871438$$
$$x_{3} = 42.405605649659$$
$$x_{4} = 23.5513313851812$$
$$x_{5} = 824.667768414974$$
$$x_{6} = 48.6895517393056$$
$$x_{7} = -37.6924796092674$$
$$x_{8} = 73.8240409804225$$
$$x_{9} = -6.24322719761189$$
$$x_{10} = 14.1194682876301$$
$$x_{11} = -31.4079674444867$$
$$x_{12} = 95.8159667896962$$
$$x_{13} = 58.1151623942039$$
$$x_{14} = 20.4081046633173$$
$$x_{15} = -75.3949078609596$$
$$x_{16} = -53.4023938097352$$
$$x_{17} = 155.507228715927$$
$$x_{18} = 36.1213948523486$$
$$x_{19} = 80.1074919003334$$
$$x_{20} = -81.678348244891$$
$$x_{21} = 64.3987674147151$$
$$x_{22} = 26.6941733108628$$
$$x_{23} = 89.5325983772724$$
$$x_{24} = 70.6822978112741$$
$$x_{25} = 51.8314556079832$$
$$x_{26} = -43.9766125553363$$
$$x_{27} = -94.2451269755362$$
$$x_{28} = -28.2654900969093$$
$$x_{29} = 29.8367520652203$$
$$x_{30} = -72.2531710320437$$
$$x_{31} = -21.9797764444477$$
$$x_{32} = 45.5476049347036$$
$$x_{33} = 7.82206418516651$$
$$x_{34} = -59.6860719342923$$
$$x_{35} = -87.9617521867404$$
$$x_{36} = 86.3909041828623$$
$$x_{37} = -50.2605085373433$$
$$x_{38} = -97.3868052009628$$
$$x_{39} = -15.6920370089449$$
$$x_{40} = 67.54054063921$$
$$x_{41} = -65.9696561768633$$
$$x_{42} = 4.65893323089553$$
$$x_{43} = -56.5442465635306$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{43} = 15.6920370089449$$
$$x_{43} = -20.4081046633173$$
$$x_{43} = -161.790476456414$$
$$x_{43} = 72.2531710320437$$
$$x_{43} = -51.8314556079832$$
$$x_{43} = -45.5476049347036$$
$$x_{43} = -243.472403844238$$
$$x_{43} = -7.82206418516651$$
$$x_{43} = -1.39919302289194$$
$$x_{43} = -10.9728064399905$$
$$x_{43} = -23.5513313851812$$
$$x_{43} = 31.4079674444867$$
$$x_{43} = -89.5325983772724$$
$$x_{43} = 370.707258737426$$
$$x_{43} = -58.1151623942039$$
$$x_{43} = 59.6860719342923$$
$$x_{43} = 34.5502838639905$$
$$x_{43} = 12.546455206056$$
$$x_{43} = 65.9696561768633$$
$$x_{43} = -73.8240409804225$$
$$x_{43} = 50.2605085373433$$
$$x_{43} = 119.378426667934$$
$$x_{43} = -95.8159667896962$$
$$x_{43} = -39.263541283971$$
$$x_{43} = 37.6924796092674$$
$$x_{43} = 87.9617521867404$$
$$x_{43} = 100.528478077876$$
$$x_{43} = 81.678348244891$$
$$x_{43} = 56.5442465635306$$
$$x_{43} = -67.54054063921$$
$$x_{43} = 43.9766125553363$$
$$x_{43} = -61.2569756677764$$
$$x_{43} = 6.24322719761189$$
$$x_{43} = 94.2451269755362$$
$$x_{43} = -14.1194682876301$$
$$x_{43} = 78.5366331548744$$
$$x_{43} = -42.405605649659$$
$$x_{43} = -83.2492023244609$$
$$x_{43} = 21.9797764444477$$
$$x_{43} = -36.1213948523486$$
$$x_{43} = -80.1074919003334$$
$$x_{43} = 28.2654900969093$$
$$x_{43} = -64.3987674147151$$
$$x_{43} = -29.8367520652203$$
$$x_{43} = -86.3909041828623$$
$$x_{43} = -17.264282877731$$
Decrece en los intervalos
$$\left[824.667768414974, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -97.3868052009628\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 \sin{\left(2 x \right)}}{x} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 15.6920370089449$$
$$x_{2} = -20.4081046633173$$
$$x_{3} = -9.39820218310508$$
$$x_{4} = 92.6742856871438$$
$$x_{5} = -161.790476456414$$
$$x_{6} = 72.2531710320437$$
$$x_{7} = 42.405605649659$$
$$x_{8} = -51.8314556079832$$
$$x_{9} = 23.5513313851812$$
$$x_{10} = 824.667768414974$$
$$x_{11} = 48.6895517393056$$
$$x_{12} = -37.6924796092674$$
$$x_{13} = -45.5476049347036$$
$$x_{14} = 73.8240409804225$$
$$x_{15} = -6.24322719761189$$
$$x_{16} = 14.1194682876301$$
$$x_{17} = -243.472403844238$$
$$x_{18} = -7.82206418516651$$
$$x_{19} = -1.39919302289194$$
$$x_{20} = -31.4079674444867$$
$$x_{21} = -10.9728064399905$$
$$x_{22} = -23.5513313851812$$
$$x_{23} = 31.4079674444867$$
$$x_{24} = 95.8159667896962$$
$$x_{25} = 58.1151623942039$$
$$x_{26} = 20.4081046633173$$
$$x_{27} = -75.3949078609596$$
$$x_{28} = -89.5325983772724$$
$$x_{29} = -53.4023938097352$$
$$x_{30} = 155.507228715927$$
$$x_{31} = 370.707258737426$$
$$x_{32} = -58.1151623942039$$
$$x_{33} = 59.6860719342923$$
$$x_{34} = 36.1213948523486$$
$$x_{35} = 34.5502838639905$$
$$x_{36} = 12.546455206056$$
$$x_{37} = 80.1074919003334$$
$$x_{38} = -81.678348244891$$
$$x_{39} = 65.9696561768633$$
$$x_{40} = -73.8240409804225$$
$$x_{41} = 50.2605085373433$$
$$x_{42} = 64.3987674147151$$
$$x_{43} = 119.378426667934$$
$$x_{44} = -95.8159667896962$$
$$x_{45} = -39.263541283971$$
$$x_{46} = 37.6924796092674$$
$$x_{47} = 26.6941733108628$$
$$x_{48} = 89.5325983772724$$
$$x_{49} = 87.9617521867404$$
$$x_{50} = 100.528478077876$$
$$x_{51} = 70.6822978112741$$
$$x_{52} = 51.8314556079832$$
$$x_{53} = -43.9766125553363$$
$$x_{54} = -94.2451269755362$$
$$x_{55} = -28.2654900969093$$
$$x_{56} = 29.8367520652203$$
$$x_{57} = 81.678348244891$$
$$x_{58} = 56.5442465635306$$
$$x_{59} = -72.2531710320437$$
$$x_{60} = -21.9797764444477$$
$$x_{61} = -67.54054063921$$
$$x_{62} = 43.9766125553363$$
$$x_{63} = -61.2569756677764$$
$$x_{64} = 45.5476049347036$$
$$x_{65} = 7.82206418516651$$
$$x_{66} = -59.6860719342923$$
$$x_{67} = 6.24322719761189$$
$$x_{68} = 94.2451269755362$$
$$x_{69} = -14.1194682876301$$
$$x_{70} = 78.5366331548744$$
$$x_{71} = -42.405605649659$$
$$x_{72} = -87.9617521867404$$
$$x_{73} = 86.3909041828623$$
$$x_{74} = -83.2492023244609$$
$$x_{75} = -50.2605085373433$$
$$x_{76} = 21.9797764444477$$
$$x_{77} = -36.1213948523486$$
$$x_{78} = -80.1074919003334$$
$$x_{79} = 28.2654900969093$$
$$x_{80} = -97.3868052009628$$
$$x_{81} = -64.3987674147151$$
$$x_{82} = -15.6920370089449$$
$$x_{83} = 67.54054063921$$
$$x_{84} = -65.9696561768633$$
$$x_{85} = 4.65893323089553$$
$$x_{86} = -29.8367520652203$$
$$x_{87} = -86.3909041828623$$
$$x_{88} = -56.5442465635306$$
$$x_{89} = -17.264282877731$$
Signos de extremos en los puntos:
(15.69203700894493, 0.0636942642225385)
(-20.40810466331729, 0.0489854410693914)
(-9.398202183105079, -0.106253065122776)
(92.67428568714384, -0.0107903226725371)
(-161.79047645641373, 0.00618080400403376)
(72.25317103204372, 0.0138398916283528)
(42.40560564965901, -0.0235801488821533)
(-51.83145560798318, 0.0192924057905199)
(23.551331385181175, -0.0424508788328287)
(824.6677684149739, -0.00121260931310476)
(48.6895517393056, -0.0205372044061619)
(-37.69247960926737, -0.0265281573036494)
(-45.54760493470357, 0.021953728496685)
(73.8240409804225, -0.0135454121947651)
(-6.2432271976118905, -0.159662361560006)
(14.119468287630136, -0.0707798311083375)
(-243.4724038442376, 0.00410723299864064)
(-7.822064185166514, 0.127583106079187)
(-1.3991930228919436, 0.673016833836791)
(-31.40796744448671, -0.031835021166852)
(-10.972806439990523, 0.091039920810257)
(-23.551331385181175, 0.0424508788328287)
(31.40796744448671, 0.031835021166852)
(95.81596678969623, -0.0104365318042727)
(58.11516239420393, -0.017206576559963)
(20.40810466331729, -0.0489854410693914)
(-75.39490786095963, -0.0132632035645067)
(-89.53259837727238, 0.0111689420930939)
(-53.402393809735244, -0.0187249315961247)
(155.50722871592723, -0.00643053599031876)
(370.7072587374256, 0.00269754386200199)
(-58.11516239420393, 0.017206576559963)
(59.68607193429229, 0.0167537397085042)
(36.121394852348644, -0.0276817718263094)
(34.55028386399049, 0.0289402919493527)
(12.546455206056049, 0.0796405711001022)
(80.10749190033339, -0.0124829837756491)
(-81.67834824489104, -0.0122429173114307)
(65.96965617686325, 0.0151580489687649)
(-73.8240409804225, 0.0135454121947651)
(50.26050853734329, 0.0198953522307259)
(64.39876741471514, -0.0155277795010295)
(119.37842666793355, 0.00837664942352769)
(-95.81596678969623, 0.0104365318042727)
(-39.263541283970966, 0.0254668553554936)
(37.69247960926737, 0.0265281573036494)
(26.694173310862816, -0.0374547889281733)
(89.53259837727238, -0.0111689420930939)
(87.96175218674041, 0.0113683938753193)
(100.5284780778763, 0.00994730697638074)
(70.68229781127408, -0.0141474599981025)
(51.83145560798318, -0.0192924057905199)
(-43.976612555336274, -0.0227378898317622)
(-94.24512697553622, -0.0106104788566719)
(-28.26549009690932, -0.0353732971043392)
(29.836752065220264, -0.0335110073143774)
(81.67834824489104, 0.0122429173114307)
(56.54424656353064, 0.0176845738866311)
(-72.25317103204372, -0.0138398916283528)
(-21.979776444447747, -0.0454846009450628)
(-67.54054063920995, 0.0148055166533365)
(43.976612555336274, 0.0227378898317622)
(-61.25697566777638, 0.0163241276426307)
(45.54760493470357, -0.021953728496685)
(7.822064185166514, -0.127583106079187)
(-59.68607193429229, -0.0167537397085042)
(6.2432271976118905, 0.159662361560006)
(94.24512697553622, 0.0106104788566719)
(-14.119468287630136, 0.0707798311083375)
(78.53663315487437, 0.012732653470956)
(-42.40560564965901, 0.0235801488821533)
(-87.96175218674041, -0.0113683938753193)
(86.39090418286231, -0.0115750988076135)
(-83.24920232446088, 0.0120119104588035)
(-50.26050853734329, -0.0198953522307259)
(21.979776444447747, 0.0454846009450628)
(-36.121394852348644, 0.0276817718263094)
(-80.10749190033339, 0.0124829837756491)
(28.26549009690932, 0.0353732971043392)
(-97.38680520096284, -0.0102681961726544)
(-64.39876741471514, 0.0155277795010295)
(-15.69203700894493, -0.0636942642225385)
(67.54054063920995, -0.0148055166533365)
(-65.96965617686325, -0.0151580489687649)
(4.658933230895533, -0.213415895430473)
(-29.836752065220264, 0.0335110073143774)
(-86.39090418286231, 0.0115750988076135)
(-56.54424656353064, -0.0176845738866311)
(-17.26428287773103, 0.0578987778229006)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -9.39820218310508$$
$$x_{2} = 92.6742856871438$$
$$x_{3} = 42.405605649659$$
$$x_{4} = 23.5513313851812$$
$$x_{5} = 824.667768414974$$
$$x_{6} = 48.6895517393056$$
$$x_{7} = -37.6924796092674$$
$$x_{8} = 73.8240409804225$$
$$x_{9} = -6.24322719761189$$
$$x_{10} = 14.1194682876301$$
$$x_{11} = -31.4079674444867$$
$$x_{12} = 95.8159667896962$$
$$x_{13} = 58.1151623942039$$
$$x_{14} = 20.4081046633173$$
$$x_{15} = -75.3949078609596$$
$$x_{16} = -53.4023938097352$$
$$x_{17} = 155.507228715927$$
$$x_{18} = 36.1213948523486$$
$$x_{19} = 80.1074919003334$$
$$x_{20} = -81.678348244891$$
$$x_{21} = 64.3987674147151$$
$$x_{22} = 26.6941733108628$$
$$x_{23} = 89.5325983772724$$
$$x_{24} = 70.6822978112741$$
$$x_{25} = 51.8314556079832$$
$$x_{26} = -43.9766125553363$$
$$x_{27} = -94.2451269755362$$
$$x_{28} = -28.2654900969093$$
$$x_{29} = 29.8367520652203$$
$$x_{30} = -72.2531710320437$$
$$x_{31} = -21.9797764444477$$
$$x_{32} = 45.5476049347036$$
$$x_{33} = 7.82206418516651$$
$$x_{34} = -59.6860719342923$$
$$x_{35} = -87.9617521867404$$
$$x_{36} = 86.3909041828623$$
$$x_{37} = -50.2605085373433$$
$$x_{38} = -97.3868052009628$$
$$x_{39} = -15.6920370089449$$
$$x_{40} = 67.54054063921$$
$$x_{41} = -65.9696561768633$$
$$x_{42} = 4.65893323089553$$
$$x_{43} = -56.5442465635306$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{43} = 15.6920370089449$$
$$x_{43} = -20.4081046633173$$
$$x_{43} = -161.790476456414$$
$$x_{43} = 72.2531710320437$$
$$x_{43} = -51.8314556079832$$
$$x_{43} = -45.5476049347036$$
$$x_{43} = -243.472403844238$$
$$x_{43} = -7.82206418516651$$
$$x_{43} = -1.39919302289194$$
$$x_{43} = -10.9728064399905$$
$$x_{43} = -23.5513313851812$$
$$x_{43} = 31.4079674444867$$
$$x_{43} = -89.5325983772724$$
$$x_{43} = 370.707258737426$$
$$x_{43} = -58.1151623942039$$
$$x_{43} = 59.6860719342923$$
$$x_{43} = 34.5502838639905$$
$$x_{43} = 12.546455206056$$
$$x_{43} = 65.9696561768633$$
$$x_{43} = -73.8240409804225$$
$$x_{43} = 50.2605085373433$$
$$x_{43} = 119.378426667934$$
$$x_{43} = -95.8159667896962$$
$$x_{43} = -39.263541283971$$
$$x_{43} = 37.6924796092674$$
$$x_{43} = 87.9617521867404$$
$$x_{43} = 100.528478077876$$
$$x_{43} = 81.678348244891$$
$$x_{43} = 56.5442465635306$$
$$x_{43} = -67.54054063921$$
$$x_{43} = 43.9766125553363$$
$$x_{43} = -61.2569756677764$$
$$x_{43} = 6.24322719761189$$
$$x_{43} = 94.2451269755362$$
$$x_{43} = -14.1194682876301$$
$$x_{43} = 78.5366331548744$$
$$x_{43} = -42.405605649659$$
$$x_{43} = -83.2492023244609$$
$$x_{43} = 21.9797764444477$$
$$x_{43} = -36.1213948523486$$
$$x_{43} = -80.1074919003334$$
$$x_{43} = 28.2654900969093$$
$$x_{43} = -64.3987674147151$$
$$x_{43} = -29.8367520652203$$
$$x_{43} = -86.3909041828623$$
$$x_{43} = -17.264282877731$$
Decrece en los intervalos
$$\left[824.667768414974, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, -97.3868052009628\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 2 \cos{\left(2 x \right)} + \frac{2 \sin{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 98.1696771141864$$
$$x_{2} = -57.3253433399373$$
$$x_{3} = 85.6025587305788$$
$$x_{4} = -55.7543012024679$$
$$x_{5} = 3.79369966899705$$
$$x_{6} = -77.7479869643648$$
$$x_{7} = -10.1608886241118$$
$$x_{8} = 90.3152525141412$$
$$x_{9} = -170.42846765824$$
$$x_{10} = -27.4707305101459$$
$$x_{11} = 84.0316532042951$$
$$x_{12} = -35.3287626892942$$
$$x_{13} = 25.8988287047768$$
$$x_{14} = 60.4673892847855$$
$$x_{15} = 82.4607435168297$$
$$x_{16} = -33.7573072524408$$
$$x_{17} = 96.5987979575948$$
$$x_{18} = -69.8932825350121$$
$$x_{19} = 44.7565228283186$$
$$x_{20} = 88.744358183704$$
$$x_{21} = -3.79369966899705$$
$$x_{22} = -25.8988287047768$$
$$x_{23} = -40.0428184020444$$
$$x_{24} = -580.408381287883$$
$$x_{25} = -76.1770580050975$$
$$x_{26} = 10.1608886241118$$
$$x_{27} = -16.4629715879196$$
$$x_{28} = 68.3223217018233$$
$$x_{29} = -99.7405536614325$$
$$x_{30} = -68.3223217018233$$
$$x_{31} = 8.58098004586516$$
$$x_{32} = -123.303456572586$$
$$x_{33} = -32.1857873935277$$
$$x_{34} = 47.8988485447458$$
$$x_{35} = 33.7573072524408$$
$$x_{36} = -13.3141795820126$$
$$x_{37} = 46.327698122918$$
$$x_{38} = 66.7513531237604$$
$$x_{39} = 40.0428184020444$$
$$x_{40} = -38.4715119133967$$
$$x_{41} = -11.7383255273246$$
$$x_{42} = -18.036421883994$$
$$x_{43} = -90.3152525141412$$
$$x_{44} = -85.6025587305788$$
$$x_{45} = 11.7383255273246$$
$$x_{46} = -47.8988485447458$$
$$x_{47} = -60.4673892847855$$
$$x_{48} = -71.4642361342536$$
$$x_{49} = -24.3267838024204$$
$$x_{50} = -54.1832448056624$$
$$x_{51} = -82.4607435168297$$
$$x_{52} = 71.4642361342536$$
$$x_{53} = 38.4715119133967$$
$$x_{54} = 63.6093904367998$$
$$x_{55} = 74.6061234593389$$
$$x_{56} = 32.1857873935277$$
$$x_{57} = 77.7479869643648$$
$$x_{58} = -84.0316532042951$$
$$x_{59} = -63.6093904367998$$
$$x_{60} = -91.8861434932187$$
$$x_{61} = 6.99688128356337$$
$$x_{62} = 55.7543012024679$$
$$x_{63} = 41.6140863416256$$
$$x_{64} = -98.1696771141864$$
$$x_{65} = -41.6140863416256$$
$$x_{66} = -2.1111381998956$$
$$x_{67} = 69.8932825350121$$
$$x_{68} = 19.6094451252405$$
$$x_{69} = 99.7405536614325$$
$$x_{70} = -62.0383950343476$$
$$x_{71} = 22.7545660577277$$
$$x_{72} = 18.036421883994$$
$$x_{73} = -19.6094451252405$$
$$x_{74} = 24.3267838024204$$
$$x_{75} = -46.327698122918$$
$$x_{76} = -5.40475364908011$$
$$x_{77} = 91.8861434932187$$
$$x_{78} = 29.0425125037225$$
$$x_{79} = 54.1832448056624$$
$$x_{80} = -79.3189106691567$$
$$x_{81} = 16.4629715879196$$
$$x_{82} = -49.4699764653524$$
$$x_{83} = -93.4570312899656$$
$$x_{84} = 30.6141931751861$$
$$x_{85} = 76.1770580050975$$
$$x_{86} = 2.1111381998956$$
$$x_{87} = 52.6121728713863$$
$$x_{88} = 62.0383950343476$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(- 2 \cos{\left(2 x \right)} + \frac{2 \sin{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)}{x}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(- 2 \cos{\left(2 x \right)} + \frac{2 \sin{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)}{x}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[98.1696771141864, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -170.42846765824\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 2 \cos{\left(2 x \right)} + \frac{2 \sin{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 98.1696771141864$$
$$x_{2} = -57.3253433399373$$
$$x_{3} = 85.6025587305788$$
$$x_{4} = -55.7543012024679$$
$$x_{5} = 3.79369966899705$$
$$x_{6} = -77.7479869643648$$
$$x_{7} = -10.1608886241118$$
$$x_{8} = 90.3152525141412$$
$$x_{9} = -170.42846765824$$
$$x_{10} = -27.4707305101459$$
$$x_{11} = 84.0316532042951$$
$$x_{12} = -35.3287626892942$$
$$x_{13} = 25.8988287047768$$
$$x_{14} = 60.4673892847855$$
$$x_{15} = 82.4607435168297$$
$$x_{16} = -33.7573072524408$$
$$x_{17} = 96.5987979575948$$
$$x_{18} = -69.8932825350121$$
$$x_{19} = 44.7565228283186$$
$$x_{20} = 88.744358183704$$
$$x_{21} = -3.79369966899705$$
$$x_{22} = -25.8988287047768$$
$$x_{23} = -40.0428184020444$$
$$x_{24} = -580.408381287883$$
$$x_{25} = -76.1770580050975$$
$$x_{26} = 10.1608886241118$$
$$x_{27} = -16.4629715879196$$
$$x_{28} = 68.3223217018233$$
$$x_{29} = -99.7405536614325$$
$$x_{30} = -68.3223217018233$$
$$x_{31} = 8.58098004586516$$
$$x_{32} = -123.303456572586$$
$$x_{33} = -32.1857873935277$$
$$x_{34} = 47.8988485447458$$
$$x_{35} = 33.7573072524408$$
$$x_{36} = -13.3141795820126$$
$$x_{37} = 46.327698122918$$
$$x_{38} = 66.7513531237604$$
$$x_{39} = 40.0428184020444$$
$$x_{40} = -38.4715119133967$$
$$x_{41} = -11.7383255273246$$
$$x_{42} = -18.036421883994$$
$$x_{43} = -90.3152525141412$$
$$x_{44} = -85.6025587305788$$
$$x_{45} = 11.7383255273246$$
$$x_{46} = -47.8988485447458$$
$$x_{47} = -60.4673892847855$$
$$x_{48} = -71.4642361342536$$
$$x_{49} = -24.3267838024204$$
$$x_{50} = -54.1832448056624$$
$$x_{51} = -82.4607435168297$$
$$x_{52} = 71.4642361342536$$
$$x_{53} = 38.4715119133967$$
$$x_{54} = 63.6093904367998$$
$$x_{55} = 74.6061234593389$$
$$x_{56} = 32.1857873935277$$
$$x_{57} = 77.7479869643648$$
$$x_{58} = -84.0316532042951$$
$$x_{59} = -63.6093904367998$$
$$x_{60} = -91.8861434932187$$
$$x_{61} = 6.99688128356337$$
$$x_{62} = 55.7543012024679$$
$$x_{63} = 41.6140863416256$$
$$x_{64} = -98.1696771141864$$
$$x_{65} = -41.6140863416256$$
$$x_{66} = -2.1111381998956$$
$$x_{67} = 69.8932825350121$$
$$x_{68} = 19.6094451252405$$
$$x_{69} = 99.7405536614325$$
$$x_{70} = -62.0383950343476$$
$$x_{71} = 22.7545660577277$$
$$x_{72} = 18.036421883994$$
$$x_{73} = -19.6094451252405$$
$$x_{74} = 24.3267838024204$$
$$x_{75} = -46.327698122918$$
$$x_{76} = -5.40475364908011$$
$$x_{77} = 91.8861434932187$$
$$x_{78} = 29.0425125037225$$
$$x_{79} = 54.1832448056624$$
$$x_{80} = -79.3189106691567$$
$$x_{81} = 16.4629715879196$$
$$x_{82} = -49.4699764653524$$
$$x_{83} = -93.4570312899656$$
$$x_{84} = 30.6141931751861$$
$$x_{85} = 76.1770580050975$$
$$x_{86} = 2.1111381998956$$
$$x_{87} = 52.6121728713863$$
$$x_{88} = 62.0383950343476$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(- 2 \cos{\left(2 x \right)} + \frac{2 \sin{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)}{x}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(- 2 \cos{\left(2 x \right)} + \frac{2 \sin{\left(2 x \right)}}{x} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right)}{x}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[98.1696771141864, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -170.42846765824\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(2*x)/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x} = - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x}$$
- No
$$\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x} = - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x}$$
- No
$$\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar