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y=x^4-3x^3+x^2

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • y=x^4-3x^3+x^2 y=x^4-3x^3+x^2
  • 4x-3 4x-3
  • 2x^3-2x^2-2
  • 3x-7 3x-7

  • Expresiones idénticas

  • y=x^ cuatro - tres x^3+x^ dos
  • y es igual a x en el grado 4 menos 3x al cubo más x al cuadrado
  • y es igual a x en el grado cuatro menos tres x al cubo más x en el grado dos
  • y=x4-3x3+x2
  • y=x⁴-3x³+x²
  • y=x en el grado 4-3x en el grado 3+x en el grado 2

  • Expresiones semejantes

  • y=x^4+3x^3+x^2
  • y=x^4-3x^3-x^2
Trazado el gráfico de la función/ y=x^4-3x^3+x^2

Gráfico de la función y = y=x^4-3x^3+x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        4      3    2
f(x) = x  - 3*x  + x
f(x)=x2+(x4−3x3)f{\left(x \right)} = x^{2} + \left(x^{4} - 3 x^{3}\right) 
f = x^2 + x^4 - 3*x^3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101020000-10000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2+(x4−3x3)=0x^{2} + \left(x^{4} - 3 x^{3}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=32−52x_{2} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}
x3=52+32x_{3} = \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{2}
Solución numérica
x1=2.61803398874989x_{1} = 2.61803398874989
x2=0x_{2} = 0
x3=0.381966011250105x_{3} = 0.381966011250105
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^4 - 3*x^3 + x^2.
(04−3⋅03)+02\left(0^{4} - 3 \cdot 0^{3}\right) + 0^{2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4x3−9x2+2x=04 x^{3} - 9 x^{2} + 2 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=14x_{2} = \frac{1}{4}
x3=2x_{3} = 2
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

(1/4, 5/256)

(2, -4)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
x2=2x_{2} = 2
Puntos máximos de la función:
x2=14x_{2} = \frac{1}{4}
Decrece en los intervalos
[0,14]∪[2,∞)\left[0, \frac{1}{4}\right] \cup \left[2, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[14,2]\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{1}{4}, 2\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(6x2−9x+1)=02 \left(6 x^{2} - 9 x + 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=34−5712x_{1} = \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{57}}{12}
x2=5712+34x_{2} = \frac{\sqrt{57}}{12} + \frac{3}{4}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,34−5712]∪[5712+34,∞)\left(-\infty, \frac{3}{4} - \frac{\sqrt{57}}{12}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{57}}{12} + \frac{3}{4}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[34−5712,5712+34]\left[\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{57}}{12}, \frac{\sqrt{57}}{12} + \frac{3}{4}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2+(x4−3x3))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} + \left(x^{4} - 3 x^{3}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2+(x4−3x3))=∞\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} + \left(x^{4} - 3 x^{3}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4 - 3*x^3 + x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2+(x4−3x3)x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x^{4} - 3 x^{3}\right)}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(x2+(x4−3x3)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + \left(x^{4} - 3 x^{3}\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2+(x4−3x3)=x4+3x3+x2x^{2} + \left(x^{4} - 3 x^{3}\right) = x^{4} + 3 x^{3} + x^{2}
- No
x2+(x4−3x3)=−x4−3x3−x2x^{2} + \left(x^{4} - 3 x^{3}\right) = - x^{4} - 3 x^{3} - x^{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=x^4-3x^3+x^2
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