Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x^2-4x-4)/(x-1)

Gráfico de la función y = (x^2-4x-4)/(x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2          
       x  - 4*x - 4
f(x) = ------------
          x - 1
f(x)=(x2−4x)−4x−1f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} - 4 x\right) - 4}{x - 1} 
f = (x^2 - 4*x - 4)/(x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2−4x)−4x−1=0\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) - 4}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2−22x_{1} = 2 - 2 \sqrt{2}
x2=2+22x_{2} = 2 + 2 \sqrt{2}
Solución numérica
x1=4.82842712474619x_{1} = 4.82842712474619
x2=−0.82842712474619x_{2} = -0.82842712474619
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 - 4*x - 4)/(x - 1).
−4+(02−0)−1\frac{-4 + \left(0^{2} - 0\right)}{-1}
Resultado:
f(0)=4f{\left(0 \right)} = 4
Punto:
(0, 4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x−4x−1−(x2−4x)−4(x−1)2=0\frac{2 x - 4}{x - 1} - \frac{\left(x^{2} - 4 x\right) - 4}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−2(x−2)x−1+1−−x2+4x+4(x−1)2)x−1=0\frac{2 \left(- \frac{2 \left(x - 2\right)}{x - 1} + 1 - \frac{- x^{2} + 4 x + 4}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x2−4x)−4x−1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) - 4}{x - 1}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x2−4x)−4x−1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) - 4}{x - 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 4*x - 4)/(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2−4x)−4x(x−1))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) - 4}{x \left(x - 1\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞((x2−4x)−4x(x−1))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) - 4}{x \left(x - 1\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2−4x)−4x−1=x2+4x−4−x−1\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) - 4}{x - 1} = \frac{x^{2} + 4 x - 4}{- x - 1}
- No
(x2−4x)−4x−1=−x2+4x−4−x−1\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) - 4}{x - 1} = - \frac{x^{2} + 4 x - 4}{- x - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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