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y=x^3-3x^2-9x+27
Trazado el gráfico de la función/ y=x^3-3x^2-9x+27

Gráfico de la función y = y=x^3-3x^2-9x+27

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3      2           
f(x) = x  - 3*x  - 9*x + 27
f(x)=(−9x+(x3−3x2))+27f{\left(x \right)} = \left(- 9 x + \left(x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 27 
f = -9*x + x^3 - 3*x^2 + 27
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−9x+(x3−3x2))+27=0\left(- 9 x + \left(x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 27 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3x_{1} = -3
x2=3x_{2} = 3
Solución numérica
x1=3x_{1} = 3
x2=−3x_{2} = -3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3 - 3*x^2 - 9*x + 27.
((03−3⋅02)−0)+27\left(\left(0^{3} - 3 \cdot 0^{2}\right) - 0\right) + 27
Resultado:
f(0)=27f{\left(0 \right)} = 27
Punto:
(0, 27)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2−6x−9=03 x^{2} - 6 x - 9 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1
x2=3x_{2} = 3
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 32)

(3, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3x_{1} = 3
Puntos máximos de la función:
x1=−1x_{1} = -1
Decrece en los intervalos
(−∞,−1]∪[3,∞)\left(-\infty, -1\right] \cup \left[3, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−1,3]\left[-1, 3\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(x−1)=06 \left(x - 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−9x+(x3−3x2))+27)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 9 x + \left(x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 27\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−9x+(x3−3x2))+27)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 9 x + \left(x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 27\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 - 3*x^2 - 9*x + 27, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−9x+(x3−3x2))+27x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 9 x + \left(x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 27}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((−9x+(x3−3x2))+27x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 9 x + \left(x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 27}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−9x+(x3−3x2))+27=−x3−3x2+9x+27\left(- 9 x + \left(x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 27 = - x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 27
- No
(−9x+(x3−3x2))+27=x3+3x2−9x−27\left(- 9 x + \left(x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 27 = x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 27
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=x^3-3x^2-9x+27
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