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(x-4)/(x^2-9)

Gráfico de la función y = (x-4)/(x^2-9)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
       x - 4 
f(x) = ------
        2    
       x  - 9
$$f{\left(x \right)} = \frac{x - 4}{x^{2} - 9}$$
f = (x - 4)/(x^2 - 9)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x - 4}{x^{2} - 9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 4$$
Solución numérica
$$x_{1} = 4$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x - 4)/(x^2 - 9).
$$- \frac{4}{-9 + 0^{2}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{4}{9}$$
Punto:
(0, 4/9)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(x - 4\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 9} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 4 - \sqrt{7}$$
$$x_{2} = \sqrt{7} + 4$$
Signos de extremos en los puntos:
                    ___       
       ___       -\/ 7        
(4 - \/ 7, -----------------)
                            2 
                 /      ___\  
            -9 + \4 - \/ 7 /  

                    ___       
       ___        \/ 7        
(4 + \/ 7, -----------------)
                            2 
                 /      ___\  
            -9 + \4 + \/ 7 /  


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 4 - \sqrt{7}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \sqrt{7} + 4$$
Decrece en los intervalos
$$\left[4 - \sqrt{7}, \sqrt{7} + 4\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 4 - \sqrt{7}\right] \cup \left[\sqrt{7} + 4, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 4\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \sqrt[3]{7} + 7^{\frac{2}{3}} + 4$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$

$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 4\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 4\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -3$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 4\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 4\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 9} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 9\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 3$$
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\sqrt[3]{7} + 7^{\frac{2}{3}} + 4, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \sqrt[3]{7} + 7^{\frac{2}{3}} + 4\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 4}{x^{2} - 9}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 4}{x^{2} - 9}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x - 4)/(x^2 - 9), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 4}{x \left(x^{2} - 9\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 4}{x \left(x^{2} - 9\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x - 4}{x^{2} - 9} = \frac{- x - 4}{x^{2} - 9}$$
- No
$$\frac{x - 4}{x^{2} - 9} = - \frac{- x - 4}{x^{2} - 9}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x-4)/(x^2-9)