Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 4\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 9} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 4 + \frac{25}{\sqrt[3]{100 + 75 i}} + \sqrt[3]{100 + 75 i}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[4 + 10 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 4 + 10 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{3}{4} \right)}}{3} \right)}\right]$$