Sr Examen

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(x^2+x-1)/(x-1)
Trazado el gráfico de la función/ (x^2+x-1)/(x-1)

Gráfico de la función y = (x^2+x-1)/(x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2        
       x  + x - 1
f(x) = ----------
         x - 1
f(x)=(x2+x)−1x−1f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} + x\right) - 1}{x - 1} 
f = (x^2 + x - 1)/(x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2+x)−1x−1=0\frac{\left(x^{2} + x\right) - 1}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−12+52x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}
x2=−52−12x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}
Solución numérica
x1=0.618033988749895x_{1} = 0.618033988749895
x2=−1.61803398874989x_{2} = -1.61803398874989
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 + x - 1)/(x - 1).
−1+02−1\frac{-1 + 0^{2}}{-1}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x+1x−1−(x2+x)−1(x−1)2=0\frac{2 x + 1}{x - 1} - \frac{\left(x^{2} + x\right) - 1}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=2x_{2} = 2
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)

(2, 5)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2x_{1} = 2
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[2,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,2]\left[0, 2\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(1−2x+1x−1+x2+x−1(x−1)2)x−1=0\frac{2 \left(1 - \frac{2 x + 1}{x - 1} + \frac{x^{2} + x - 1}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x2+x)−1x−1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + x\right) - 1}{x - 1}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x2+x)−1x−1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + x\right) - 1}{x - 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 + x - 1)/(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2+x)−1x(x−1))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + x\right) - 1}{x \left(x - 1\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞((x2+x)−1x(x−1))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + x\right) - 1}{x \left(x - 1\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2+x)−1x−1=x2−x−1−x−1\frac{\left(x^{2} + x\right) - 1}{x - 1} = \frac{x^{2} - x - 1}{- x - 1}
- No
(x2+x)−1x−1=−x2−x−1−x−1\frac{\left(x^{2} + x\right) - 1}{x - 1} = - \frac{x^{2} - x - 1}{- x - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x^2+x-1)/(x-1)
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