Sr Examen

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xe^(-2x^2)
Trazado el gráfico de la función/ xe^(-2x^2)

Gráfico de la función y = xe^(-2x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              2
          -2*x 
f(x) = x*E
f(x)=e−2x2xf{\left(x \right)} = e^{- 2 x^{2}} x 
f = E^(-2*x^2)*x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.5-0.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e−2x2x=0e^{- 2 x^{2}} x = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=−20.2441823080008x_{1} = -20.2441823080008
x2=−56.0039065398716x_{2} = -56.0039065398716
x3=−6.77669888897845x_{3} = -6.77669888897845
x4=16.5602258260622x_{4} = 16.5602258260622
x5=52.25478185912x_{5} = 52.25478185912
x6=58.25x_{6} = 58.25
x7=−66x_{7} = -66
x8=10.7360059816192x_{8} = 10.7360059816192
x9=88.25x_{9} = 88.25
x10=7.02275733140978x_{10} = 7.02275733140978
x11=98.25x_{11} = 98.25
x12=−54.0046390574462x_{12} = -54.0046390574462
x13=−100x_{13} = -100
x14=−92x_{14} = -92
x15=−84x_{15} = -84
x16=−8.59501634254265x_{16} = -8.59501634254265
x17=84.25x_{17} = 84.25
x18=−18.2709886320365x_{18} = -18.2709886320365
x19=−86x_{19} = -86
x20=−70x_{20} = -70
x21=−12.4033345814019x_{21} = -12.4033345814019
x22=70.25x_{22} = 70.25
x23=−42.1167412471519x_{23} = -42.1167412471519
x24=24.4588085855729x_{24} = 24.4588085855729
x25=−60x_{25} = -60
x26=−74x_{26} = -74
x27=48.3552324909834x_{27} = 48.3552324909834
x28=−80x_{28} = -80
x29=−82x_{29} = -82
x30=−44.1114464579814x_{30} = -44.1114464579814
x31=72.25x_{31} = 72.25
x32=14.6029193935148x_{32} = 14.6029193935148
x33=8.84761334321555x_{33} = 8.84761334321555
x34=46.359774190717x_{34} = 46.359774190717
x35=30.4176105229209x_{35} = 30.4176105229209
x36=78.25x_{36} = 78.25
x37=−64x_{37} = -64
x38=12.6590510554094x_{38} = 12.6590510554094
x39=3.97102158064074x_{39} = 3.97102158064074
x40=−94x_{40} = -94
x41=0x_{41} = 0
x42=−5.10617036211904x_{42} = -5.10617036211904
x43=50.2549742706183x_{43} = 50.2549742706183
x44=20.4996604745356x_{44} = 20.4996604745356
x45=−14.3469928317833x_{45} = -14.3469928317833
x46=76.25x_{46} = 76.25
x47=−30.1632538439016x_{47} = -30.1632538439016
x48=66.25x_{48} = 66.25
x49=36.3899680626113x_{49} = 36.3899680626113
x50=90.25x_{50} = 90.25
x51=40.3760972741839x_{51} = 40.3760972741839
x52=−98x_{52} = -98
x53=22.4774223387911x_{53} = 22.4774223387911
x54=94.25x_{54} = 94.25
x55=86.25x_{55} = 86.25
x56=34.3981121827669x_{56} = 34.3981121827669
x57=−62x_{57} = -62
x58=−32.1530930319572x_{58} = -32.1530930319572
x59=−40.1225635533425x_{59} = -40.1225635533425
x60=−38.1289962268763x_{60} = -38.1289962268763
x61=−22.2221815043682x_{61} = -22.2221815043682
x62=68.25x_{62} = 68.25
x63=74.25x_{63} = 74.25
x64=−58x_{64} = -58
x65=−50.0049986172146x_{65} = -50.0049986172146
x66=32.4072605118898x_{66} = 32.4072605118898
x67=−3.82239063495401x_{67} = -3.82239063495401
x68=5.33115511959599x_{68} = 5.33115511959599
x69=38.3826716383851x_{69} = 38.3826716383851
x70=−76x_{70} = -76
x71=−90x_{71} = -90
x72=−28.1748554837394x_{72} = -28.1748554837394
x73=60.25x_{73} = 60.25
x74=96.25x_{74} = 96.25
x75=−24.2038045666902x_{75} = -24.2038045666902
x76=92.25x_{76} = 92.25
x77=−52.0048081374259x_{77} = -52.0048081374259
x78=64.25x_{78} = 64.25
x79=−68x_{79} = -68
x80=18.5266882424272x_{80} = 18.5266882424272
x81=−34.1441207855936x_{81} = -34.1441207855936
x82=28.4294149468469x_{82} = 28.4294149468469
x83=−46.1066106375155x_{83} = -46.1066106375155
x84=56.2539066409319x_{84} = 56.2539066409319
x85=82.25x_{85} = 82.25
x86=100.25x_{86} = 100.25
x87=−16.3043539195018x_{87} = -16.3043539195018
x88=−48.1021767304102x_{88} = -48.1021767304102
x89=−78x_{89} = -78
x90=80.25x_{90} = 80.25
x91=−26.1882268002913x_{91} = -26.1882268002913
x92=44.3647250321472x_{92} = 44.3647250321472
x93=−36.1361403943326x_{93} = -36.1361403943326
x94=−72x_{94} = -72
x95=−10.4811043525974x_{95} = -10.4811043525974
x96=−88x_{96} = -88
x97=42.3701429639777x_{97} = 42.3701429639777
x98=26.4430024893397x_{98} = 26.4430024893397
x99=62.25x_{99} = 62.25
x100=54.2546878967498x_{100} = 54.2546878967498
x101=−96x_{101} = -96
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*E^(-2*x^2).
0e−2⋅020 e^{- 2 \cdot 0^{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−4x2e−2x2+e−2x2=0- 4 x^{2} e^{- 2 x^{2}} + e^{- 2 x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
x2=12x_{2} = \frac{1}{2}
Signos de extremos en los puntos:
         -1/2  
       -e      
(-1/2, -------)
          2    

       -1/2 
      e     
(1/2, -----)
        2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=12x_{1} = \frac{1}{2}
Decrece en los intervalos
[−12,12]\left[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−12]∪[12,∞)\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4x(4x2−3)e−2x2=04 x \left(4 x^{2} - 3\right) e^{- 2 x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−32x_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2}
x3=32x_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−32,0]∪[32,∞)\left[- \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−32]∪[0,32]\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3}}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(e−2x2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(e^{- 2 x^{2}} x\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(e−2x2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(e^{- 2 x^{2}} x\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*E^(-2*x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞e−2x2=0\lim_{x \to -\infty} e^{- 2 x^{2}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞e−2x2=0\lim_{x \to \infty} e^{- 2 x^{2}} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e−2x2x=−xe−2x2e^{- 2 x^{2}} x = - x e^{- 2 x^{2}}
- No
e−2x2x=xe−2x2e^{- 2 x^{2}} x = x e^{- 2 x^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = xe^(-2x^2)
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