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Trazado el gráfico de la función/ xe^(2x)-1

Gráfico de la función y = xe^(2x)-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2*x    
f(x) = x*E    - 1
f(x)=e2xx−1f{\left(x \right)} = e^{2 x} x - 1 
f = E^(2*x)*x - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-50000000005000000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e2xx−1=0e^{2 x} x - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=W(2)2x_{1} = \frac{W\left(2\right)}{2}
Solución numérica
x1=0.426302751006863x_{1} = 0.426302751006863
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*E^(2*x) - 1.
−1+0e0⋅2-1 + 0 e^{0 \cdot 2}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2xe2x+e2x=02 x e^{2 x} + e^{2 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
Signos de extremos en los puntos:
             -1 
            e   
(-1/2, -1 - ---)
             2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−12,∞)\left[- \frac{1}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−12]\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(x+1)e2x=04 \left(x + 1\right) e^{2 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−1,∞)\left[-1, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−1]\left(-\infty, -1\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(e2xx−1)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(e^{2 x} x - 1\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−1y = -1
lim⁡x→∞(e2xx−1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(e^{2 x} x - 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*E^(2*x) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(e2xx−1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{2 x} x - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(e2xx−1x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{2 x} x - 1}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e2xx−1=−xe−2x−1e^{2 x} x - 1 = - x e^{- 2 x} - 1
- No
e2xx−1=xe−2x+1e^{2 x} x - 1 = x e^{- 2 x} + 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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