Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
2*sqrt(x)
-
cos(x)+sin(x)
-
y^2+1
-
x^3-3*x
- Límite de la función:
-
(2+x^2-3*x)/(-8+x^3)
-
Expresiones idénticas
- (dos +x^ dos - tres *x)/(- ocho +x^ tres)
- (2 más x al cuadrado menos 3 multiplicar por x) dividir por ( menos 8 más x al cubo )
- (dos más x en el grado dos menos tres multiplicar por x) dividir por ( menos ocho más x en el grado tres)
- (2+x2-3*x)/(-8+x3)
- 2+x2-3*x/-8+x3
- (2+x²-3*x)/(-8+x³)
- (2+x en el grado 2-3*x)/(-8+x en el grado 3)
- (2+x^2-3x)/(-8+x^3)
- (2+x2-3x)/(-8+x3)
- 2+x2-3x/-8+x3
- 2+x^2-3x/-8+x^3
- (2+x^2-3*x) dividir por (-8+x^3)
-
Expresiones semejantes
- (2-x^2-3*x)/(-8+x^3)
- (2+x^2+3*x)/(-8+x^3)
- (2+x^2-3*x)/(8+x^3)
- (2+x^2-3*x)/(-8-x^3)
Gráfico de la función y = (2+x^2-3*x)/(-8+x^3)
Solución
Ha introducido
[src]
2
2 + x - 3*x
f(x) = ------------
3
-8 + x
$$f{\left(x \right)} = \frac{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{x^{3} - 8}$$
f = (-3*x + x^2 + 2)/(x^3 - 8)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{x^{3} - 8} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{x^{3} - 8} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{3 x^{2} \left(- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)\right)}{\left(x^{3} - 8\right)^{2}} + \frac{2 x - 3}{x^{3} - 8} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 - \sqrt{7}$$
$$x_{2} = 1 + \sqrt{7}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1 - \sqrt{7}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 1 + \sqrt{7}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[1 - \sqrt{7}, 1 + \sqrt{7}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 - \sqrt{7}\right] \cup \left[1 + \sqrt{7}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{3 x^{2} \left(- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)\right)}{\left(x^{3} - 8\right)^{2}} + \frac{2 x - 3}{x^{3} - 8} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 - \sqrt{7}$$
$$x_{2} = 1 + \sqrt{7}$$
Signos de extremos en los puntos:
2
/ ___\ ___
___ -1 + \1 - \/ 7 / + 3*\/ 7
(1 - \/ 7, ---------------------------)
3
/ ___\
-8 + \1 - \/ 7 / 2
/ ___\ ___
___ -1 + \1 + \/ 7 / - 3*\/ 7
(1 + \/ 7, ---------------------------)
3
/ ___\
-8 + \1 + \/ 7 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1 - \sqrt{7}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 1 + \sqrt{7}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[1 - \sqrt{7}, 1 + \sqrt{7}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 - \sqrt{7}\right] \cup \left[1 + \sqrt{7}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{3 x^{2} \left(2 x - 3\right)}{x^{3} - 8} + \frac{3 x \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 8} - 1\right) \left(x^{2} - 3 x + 2\right)}{x^{3} - 8} + 1\right)}{x^{3} - 8} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 + \frac{7}{\sqrt[3]{14 + 7 \sqrt{3} i}} + \sqrt[3]{14 + 7 \sqrt{3} i}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 2$$
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{3 x^{2} \left(2 x - 3\right)}{x^{3} - 8} + \frac{3 x \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 8} - 1\right) \left(x^{2} - 3 x + 2\right)}{x^{3} - 8} + 1\right)}{x^{3} - 8}\right) = -0.0555555555555555$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{3 x^{2} \left(2 x - 3\right)}{x^{3} - 8} + \frac{3 x \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 8} - 1\right) \left(x^{2} - 3 x + 2\right)}{x^{3} - 8} + 1\right)}{x^{3} - 8}\right) = -0.0555555555555555$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[1 + 2 \sqrt{7} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 + 2 \sqrt{7} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}}{3} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{3 x^{2} \left(2 x - 3\right)}{x^{3} - 8} + \frac{3 x \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 8} - 1\right) \left(x^{2} - 3 x + 2\right)}{x^{3} - 8} + 1\right)}{x^{3} - 8} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1 + \frac{7}{\sqrt[3]{14 + 7 \sqrt{3} i}} + \sqrt[3]{14 + 7 \sqrt{3} i}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 2$$
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{3 x^{2} \left(2 x - 3\right)}{x^{3} - 8} + \frac{3 x \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 8} - 1\right) \left(x^{2} - 3 x + 2\right)}{x^{3} - 8} + 1\right)}{x^{3} - 8}\right) = -0.0555555555555555$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{3 x^{2} \left(2 x - 3\right)}{x^{3} - 8} + \frac{3 x \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 8} - 1\right) \left(x^{2} - 3 x + 2\right)}{x^{3} - 8} + 1\right)}{x^{3} - 8}\right) = -0.0555555555555555$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[1 + 2 \sqrt{7} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 1 + 2 \sqrt{7} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}}{3} \right)}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{1} = 2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{x^{3} - 8}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{x^{3} - 8}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{x^{3} - 8}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{x^{3} - 8}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2 + x^2 - 3*x)/(-8 + x^3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{x \left(x^{3} - 8\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{x \left(x^{3} - 8\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{x \left(x^{3} - 8\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{x \left(x^{3} - 8\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{x^{3} - 8} = \frac{x^{2} + 3 x + 2}{- x^{3} - 8}$$
- No
$$\frac{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{x^{3} - 8} = - \frac{x^{2} + 3 x + 2}{- x^{3} - 8}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{x^{3} - 8} = \frac{x^{2} + 3 x + 2}{- x^{3} - 8}$$
- No
$$\frac{- 3 x + \left(x^{2} + 2\right)}{x^{3} - 8} = - \frac{x^{2} + 3 x + 2}{- x^{3} - 8}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar