Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{2 x}{2 x - 8} - \frac{2 \left(x^{2} + 1\right)}{\left(2 x - 8\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 4 - \sqrt{17}$$
$$x_{2} = 4 + \sqrt{17}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ 2\
____ | / ____\ |
____ -\/ 17 *\1 + \4 - \/ 17 / /
(4 - \/ 17, ----------------------------)
34
/ 2\
____ | / ____\ |
____ \/ 17 *\1 + \4 + \/ 17 / /
(4 + \/ 17, --------------------------)
34
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 4 + \sqrt{17}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 4 - \sqrt{17}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 4 - \sqrt{17}\right] \cup \left[4 + \sqrt{17}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[4 - \sqrt{17}, 4 + \sqrt{17}\right]$$