Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^2+x+1
-
y=x^3-3x^2+4
-
e^x/x
-
5-x
- Integral de d{x}:
- 3cos^(2)2x
-
Expresiones idénticas
- 3cos^(dos)2x
- 3 coseno de en el grado (2)2x
- 3 coseno de en el grado (dos)2x
- 3cos(2)2x
- 3cos22x
- 3cos^22x
Gráfico de la función y = 3cos^(2)2x
Solución
Ha introducido
[src]
2 f(x) = 3*cos (2*x)
$$f{\left(x \right)} = 3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}$$
f = 3*cos(2*x)^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$3 \cos^{2}{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 76.1836219127145$$
$$x_{2} = -49.4800844094223$$
$$x_{3} = 71.4712325592813$$
$$x_{4} = -32.2013245860493$$
$$x_{5} = -60.4756586297418$$
$$x_{6} = 69.9004366179912$$
$$x_{7} = 63.6172513369298$$
$$x_{8} = 96.6039739860399$$
$$x_{9} = -84.0376034471411$$
$$x_{10} = -19.6349539733882$$
$$x_{11} = 8.63937970041344$$
$$x_{12} = -18.0641577028072$$
$$x_{13} = -2.35619437671896$$
$$x_{14} = -5.49778725647941$$
$$x_{15} = -0.785398166130751$$
$$x_{16} = -79.325214568582$$
$$x_{17} = 18.0641575853046$$
$$x_{18} = -465.741111003319$$
$$x_{19} = -41.6261027314388$$
$$x_{20} = 32.2013247418649$$
$$x_{21} = 41.6261027663993$$
$$x_{22} = -10.210176008893$$
$$x_{23} = 66.7588441131007$$
$$x_{24} = 99.7455668738049$$
$$x_{25} = 84.0376034192262$$
$$x_{26} = 27.4889354808973$$
$$x_{27} = 0.785398118063847$$
$$x_{28} = -33.7721210085549$$
$$x_{29} = -71.4712329855388$$
$$x_{30} = -46.3384915220366$$
$$x_{31} = 3.92699087784889$$
$$x_{32} = 46.3384915861013$$
$$x_{33} = -98.1747703186947$$
$$x_{34} = -38.4845100906754$$
$$x_{35} = 22.7765470504813$$
$$x_{36} = 55.7632697213615$$
$$x_{37} = 98.1747704999445$$
$$x_{38} = -82.4668071752083$$
$$x_{39} = -57.3340660035604$$
$$x_{40} = 52.6216768417318$$
$$x_{41} = -40.0553062838236$$
$$x_{42} = 2.35619442704144$$
$$x_{43} = 44.7676955973049$$
$$x_{44} = 33.7721211448164$$
$$x_{45} = 47.9092880382216$$
$$x_{46} = -90.3207886690967$$
$$x_{47} = 90.3207887457625$$
$$x_{48} = 91.8915851975093$$
$$x_{49} = 49.4800839996026$$
$$x_{50} = 40.055306209136$$
$$x_{51} = -3.92699105526517$$
$$x_{52} = 11.7809725680634$$
$$x_{53} = 16.4933613203203$$
$$x_{54} = 54.1924733267788$$
$$x_{55} = -68.3296400953708$$
$$x_{56} = 82.4668070519044$$
$$x_{57} = 60.4756584745212$$
$$x_{58} = -62.0464548652478$$
$$x_{59} = 77.7544182976932$$
$$x_{60} = -76.1836217409515$$
$$x_{61} = 68.3296401658547$$
$$x_{62} = 30.6305282706443$$
$$x_{63} = 88.7499926302988$$
$$x_{64} = -35.3429174368834$$
$$x_{65} = 19.6349541951516$$
$$x_{66} = -11.780972425667$$
$$x_{67} = -24.3473429491357$$
$$x_{68} = -19.6349541522704$$
$$x_{69} = -16.4933615591447$$
$$x_{70} = 85.6083999066255$$
$$x_{71} = 5.49778696422816$$
$$x_{72} = -85.608399889346$$
$$x_{73} = -93.4623815613976$$
$$x_{74} = 10.2101761577675$$
$$x_{75} = -27.4889358330644$$
$$x_{76} = -77.7544181730257$$
$$x_{77} = -54.1924731634027$$
$$x_{78} = -99.7455667547305$$
$$x_{79} = -33.7721211587531$$
$$x_{80} = 93.462381626966$$
$$x_{81} = 38.4845098973237$$
$$x_{82} = 25.918139458182$$
$$x_{83} = -63.6172513104641$$
$$x_{84} = 24.347343006498$$
$$x_{85} = 62.0464548185713$$
$$x_{86} = -98.1747705479865$$
$$x_{87} = -55.763269590985$$
$$x_{88} = 74.6128254135616$$
$$x_{89} = -13.3517688688202$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$3 \cos^{2}{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{4}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 76.1836219127145$$
$$x_{2} = -49.4800844094223$$
$$x_{3} = 71.4712325592813$$
$$x_{4} = -32.2013245860493$$
$$x_{5} = -60.4756586297418$$
$$x_{6} = 69.9004366179912$$
$$x_{7} = 63.6172513369298$$
$$x_{8} = 96.6039739860399$$
$$x_{9} = -84.0376034471411$$
$$x_{10} = -19.6349539733882$$
$$x_{11} = 8.63937970041344$$
$$x_{12} = -18.0641577028072$$
$$x_{13} = -2.35619437671896$$
$$x_{14} = -5.49778725647941$$
$$x_{15} = -0.785398166130751$$
$$x_{16} = -79.325214568582$$
$$x_{17} = 18.0641575853046$$
$$x_{18} = -465.741111003319$$
$$x_{19} = -41.6261027314388$$
$$x_{20} = 32.2013247418649$$
$$x_{21} = 41.6261027663993$$
$$x_{22} = -10.210176008893$$
$$x_{23} = 66.7588441131007$$
$$x_{24} = 99.7455668738049$$
$$x_{25} = 84.0376034192262$$
$$x_{26} = 27.4889354808973$$
$$x_{27} = 0.785398118063847$$
$$x_{28} = -33.7721210085549$$
$$x_{29} = -71.4712329855388$$
$$x_{30} = -46.3384915220366$$
$$x_{31} = 3.92699087784889$$
$$x_{32} = 46.3384915861013$$
$$x_{33} = -98.1747703186947$$
$$x_{34} = -38.4845100906754$$
$$x_{35} = 22.7765470504813$$
$$x_{36} = 55.7632697213615$$
$$x_{37} = 98.1747704999445$$
$$x_{38} = -82.4668071752083$$
$$x_{39} = -57.3340660035604$$
$$x_{40} = 52.6216768417318$$
$$x_{41} = -40.0553062838236$$
$$x_{42} = 2.35619442704144$$
$$x_{43} = 44.7676955973049$$
$$x_{44} = 33.7721211448164$$
$$x_{45} = 47.9092880382216$$
$$x_{46} = -90.3207886690967$$
$$x_{47} = 90.3207887457625$$
$$x_{48} = 91.8915851975093$$
$$x_{49} = 49.4800839996026$$
$$x_{50} = 40.055306209136$$
$$x_{51} = -3.92699105526517$$
$$x_{52} = 11.7809725680634$$
$$x_{53} = 16.4933613203203$$
$$x_{54} = 54.1924733267788$$
$$x_{55} = -68.3296400953708$$
$$x_{56} = 82.4668070519044$$
$$x_{57} = 60.4756584745212$$
$$x_{58} = -62.0464548652478$$
$$x_{59} = 77.7544182976932$$
$$x_{60} = -76.1836217409515$$
$$x_{61} = 68.3296401658547$$
$$x_{62} = 30.6305282706443$$
$$x_{63} = 88.7499926302988$$
$$x_{64} = -35.3429174368834$$
$$x_{65} = 19.6349541951516$$
$$x_{66} = -11.780972425667$$
$$x_{67} = -24.3473429491357$$
$$x_{68} = -19.6349541522704$$
$$x_{69} = -16.4933615591447$$
$$x_{70} = 85.6083999066255$$
$$x_{71} = 5.49778696422816$$
$$x_{72} = -85.608399889346$$
$$x_{73} = -93.4623815613976$$
$$x_{74} = 10.2101761577675$$
$$x_{75} = -27.4889358330644$$
$$x_{76} = -77.7544181730257$$
$$x_{77} = -54.1924731634027$$
$$x_{78} = -99.7455667547305$$
$$x_{79} = -33.7721211587531$$
$$x_{80} = 93.462381626966$$
$$x_{81} = 38.4845098973237$$
$$x_{82} = 25.918139458182$$
$$x_{83} = -63.6172513104641$$
$$x_{84} = 24.347343006498$$
$$x_{85} = 62.0464548185713$$
$$x_{86} = -98.1747705479865$$
$$x_{87} = -55.763269590985$$
$$x_{88} = 74.6128254135616$$
$$x_{89} = -13.3517688688202$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 12 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{4}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{4}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 12 \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{3} = \frac{\pi}{4}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 3)
-pi (----, 0) 4
pi (--, 0) 4
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{4}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{4}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$24 \left(\sin^{2}{\left(2 x \right)} - \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{8}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{8}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{8}\right] \cup \left[\frac{\pi}{8}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{8}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$24 \left(\sin^{2}{\left(2 x \right)} - \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{8}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{8}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{8}\right] \cup \left[\frac{\pi}{8}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{8}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle 0, 3\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 0, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle 0, 3\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 0, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle 0, 3\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 0, 3\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}\right) = \left\langle 0, 3\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 0, 3\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3*cos(2*x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$3 \cos^{2}{\left(2 x \right)} = 3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}$$
- Sí
$$3 \cos^{2}{\left(2 x \right)} = - 3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$3 \cos^{2}{\left(2 x \right)} = 3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}$$
- Sí
$$3 \cos^{2}{\left(2 x \right)} = - 3 \cos^{2}{\left(2 x \right)}$$
- No
es decir, función
es
par