Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3/3-4*x
-
x^3-6*x^2+9*x+1
-
y=x+2
-
(x^3-x^2)/(4-x^2)
-
Expresiones idénticas
- y=((x- dos)^ dos (x- tres))/((x- dos)(x- cuatro))
- y es igual a ((x menos 2) al cuadrado (x menos 3)) dividir por ((x menos 2)(x menos 4))
- y es igual a ((x menos dos) en el grado dos (x menos tres)) dividir por ((x menos dos)(x menos cuatro))
- y=((x-2)2(x-3))/((x-2)(x-4))
- y=x-22x-3/x-2x-4
- y=((x-2)²(x-3))/((x-2)(x-4))
- y=((x-2) en el grado 2(x-3))/((x-2)(x-4))
- y=x-2^2x-3/x-2x-4
- y=((x-2)^2(x-3)) dividir por ((x-2)(x-4))
-
Expresiones semejantes
- y=((x-2)^2(x+3))/((x-2)(x-4))
- y=((x-2)^2(x-3))/((x+2)(x-4))
- y=((x-2)^2(x-3))/((x-2)(x+4))
- y=((x+2)^2(x-3))/((x-2)(x-4))
Gráfico de la función y = y=((x-2)^2(x-3))/((x-2)(x-4))
Solución
Ha introducido
[src]
2
(x - 2) *(x - 3)
f(x) = ----------------
(x - 2)*(x - 4)
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x - 3\right) \left(x - 2\right)^{2}}{\left(x - 4\right) \left(x - 2\right)}$$
f = ((x - 3)*(x - 2)^2)/(((x - 4)*(x - 2)))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 4$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(x - 2\right)^{2}}{\left(x - 4\right) \left(x - 2\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 3$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(x - 2\right)^{2}}{\left(x - 4\right) \left(x - 2\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 3$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(6 - 2 x\right) \left(x - 3\right)}{\left(x - 4\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 4\right) \left(x - 2\right)} \left(\left(x - 3\right) \left(2 x - 4\right) + \left(x - 2\right)^{2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 4 - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2} + 4$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \sqrt{2} + 4$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 4 - \sqrt{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 4 - \sqrt{2}\right] \cup \left[\sqrt{2} + 4, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[4 - \sqrt{2}, \sqrt{2} + 4\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(6 - 2 x\right) \left(x - 3\right)}{\left(x - 4\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 4\right) \left(x - 2\right)} \left(\left(x - 3\right) \left(2 x - 4\right) + \left(x - 2\right)^{2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 4 - \sqrt{2}$$
$$x_{2} = \sqrt{2} + 4$$
Signos de extremos en los puntos:
___ / ___\ / ___\
___ -\/ 2 *\1 - \/ 2 /*\2 - \/ 2 /
(4 - \/ 2, -------------------------------)
2 ___ / ___\ / ___\
___ \/ 2 *\1 + \/ 2 /*\2 + \/ 2 /
(4 + \/ 2, -----------------------------)
2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \sqrt{2} + 4$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 4 - \sqrt{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 4 - \sqrt{2}\right] \cup \left[\sqrt{2} + 4, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[4 - \sqrt{2}, \sqrt{2} + 4\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{3 x - 7}{x - 2} + \frac{\left(x - 3\right) \left(\left(x - 3\right) \left(\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x - 4}\right) + \frac{x - 3}{x - 2} - 1 + \frac{x - 3}{x - 4}\right)}{x - 4} - \frac{2 \left(x - 3\right) \left(3 x - 8\right)}{\left(x - 4\right) \left(x - 2\right)}\right)}{x - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{3 x - 7}{x - 2} + \frac{\left(x - 3\right) \left(\left(x - 3\right) \left(\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x - 4}\right) + \frac{x - 3}{x - 2} - 1 + \frac{x - 3}{x - 4}\right)}{x - 4} - \frac{2 \left(x - 3\right) \left(3 x - 8\right)}{\left(x - 4\right) \left(x - 2\right)}\right)}{x - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 4$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 4$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x - 2\right)^{2}}{\left(x - 4\right) \left(x - 2\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x - 2\right)^{2}}{\left(x - 4\right) \left(x - 2\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x - 2\right)^{2}}{\left(x - 4\right) \left(x - 2\right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x - 2\right)^{2}}{\left(x - 4\right) \left(x - 2\right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x - 2)^2*(x - 3))/(((x - 2)*(x - 4))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 4\right) \left(x - 2\right)} \left(x - 3\right) \left(x - 2\right)^{2}}{x}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 4\right) \left(x - 2\right)} \left(x - 3\right) \left(x - 2\right)^{2}}{x}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 4\right) \left(x - 2\right)} \left(x - 3\right) \left(x - 2\right)^{2}}{x}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 4\right) \left(x - 2\right)} \left(x - 3\right) \left(x - 2\right)^{2}}{x}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(x - 2\right)^{2}}{\left(x - 4\right) \left(x - 2\right)} = \frac{\left(- x - 3\right) \left(- x - 2\right)}{- x - 4}$$
- No
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(x - 2\right)^{2}}{\left(x - 4\right) \left(x - 2\right)} = - \frac{\left(- x - 3\right) \left(- x - 2\right)}{- x - 4}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(x - 2\right)^{2}}{\left(x - 4\right) \left(x - 2\right)} = \frac{\left(- x - 3\right) \left(- x - 2\right)}{- x - 4}$$
- No
$$\frac{\left(x - 3\right) \left(x - 2\right)^{2}}{\left(x - 4\right) \left(x - 2\right)} = - \frac{\left(- x - 3\right) \left(- x - 2\right)}{- x - 4}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico