Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3/3-4*x
-
x^3-6*x^2+9*x+1
-
y=x+2
-
(x^3-x^2)/(4-x^2)
-
Expresiones idénticas
- ((x^ dos)^ dos (x- uno))/(x+ uno)^ dos
- ((x al cuadrado ) al cuadrado (x menos 1)) dividir por (x más 1) al cuadrado
- ((x en el grado dos) en el grado dos (x menos uno)) dividir por (x más uno) en el grado dos
- ((x2)2(x-1))/(x+1)2
- x22x-1/x+12
- ((x²)²(x-1))/(x+1)²
- ((x en el grado 2) en el grado 2(x-1))/(x+1) en el grado 2
- x^2^2x-1/x+1^2
- ((x^2)^2(x-1)) dividir por (x+1)^2
-
Expresiones semejantes
- ((x^2)^2(x+1))/(x+1)^2
- ((x^2)^2(x-1))/(x-1)^2
Gráfico de la función y = ((x^2)^2(x-1))/(x+1)^2
Solución
Ha introducido
[src]
2
/ 2\
\x / *(x - 1)
f(x) = -------------
2
(x + 1)
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x - 1\right) \left(x^{2}\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}$$
f = ((x - 1)*(x^2)^2)/(x + 1)^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x - 1\right) \left(x^{2}\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.000938709817746301$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = -0.000738603122751799$$
$$x_{4} = 1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x - 1\right) \left(x^{2}\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.000938709817746301$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = -0.000738603122751799$$
$$x_{4} = 1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x^{4} \left(- 2 x - 2\right) \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{4}} + \frac{4 x^{3} \left(x - 1\right) + \left(x^{2}\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{57}}{6}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{57}}{6} - \frac{1}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{57}}{6}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{57}}{6} - \frac{1}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{57}}{6} - \frac{1}{2}\right] \cup \left[- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{57}}{6}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{57}}{6}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x^{4} \left(- 2 x - 2\right) \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{4}} + \frac{4 x^{3} \left(x - 1\right) + \left(x^{2}\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{57}}{6}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{57}}{6} - \frac{1}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
4
/ ____\ / ____\
| 1 \/ 57 | | 3 \/ 57 |
____ |- - + ------| *|- - + ------|
1 \/ 57 \ 2 6 / \ 2 6 /
(- - + ------, ------------------------------)
2 6 2
/ ____\
|1 \/ 57 |
|- + ------|
\2 6 / 4
/ ____\ / ____\
| 1 \/ 57 | | 3 \/ 57 |
____ |- - - ------| *|- - - ------|
1 \/ 57 \ 2 6 / \ 2 6 /
(- - - ------, ------------------------------)
2 6 2
/ ____\
|1 \/ 57 |
|- - ------|
\2 6 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{57}}{6}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{57}}{6} - \frac{1}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{57}}{6} - \frac{1}{2}\right] \cup \left[- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{57}}{6}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{57}}{6}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 x^{2} \left(\frac{3 x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + 10 x - \frac{2 x \left(5 x - 4\right)}{x + 1} - 6\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1 + \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{78}}{9} + 1}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{78}}{9} + 1}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 x^{2} \left(\frac{3 x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + 10 x - \frac{2 x \left(5 x - 4\right)}{x + 1} - 6\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 x^{2} \left(\frac{3 x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + 10 x - \frac{2 x \left(5 x - 4\right)}{x + 1} - 6\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-1 + \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{78}}{9} + 1}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{78}}{9} + 1}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -1 + \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{78}}{9} + 1}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{78}}{9} + 1}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 x^{2} \left(\frac{3 x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + 10 x - \frac{2 x \left(5 x - 4\right)}{x + 1} - 6\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1 + \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{78}}{9} + 1}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{78}}{9} + 1}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 x^{2} \left(\frac{3 x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + 10 x - \frac{2 x \left(5 x - 4\right)}{x + 1} - 6\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 x^{2} \left(\frac{3 x^{2} \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}} + 10 x - \frac{2 x \left(5 x - 4\right)}{x + 1} - 6\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-1 + \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{78}}{9} + 1}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{78}}{9} + 1}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -1 + \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{78}}{9} + 1}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{78}}{9} + 1}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \left(x^{2}\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \left(x^{2}\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \left(x^{2}\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 1\right) \left(x^{2}\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x^2)^2*(x - 1))/(x + 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} \left(x - 1\right)}{x \left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} \left(x - 1\right)}{x \left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} \left(x - 1\right)}{x \left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} \left(x - 1\right)}{x \left(x + 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x - 1\right) \left(x^{2}\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} = \frac{x^{4} \left(- x - 1\right)}{\left(1 - x\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{\left(x - 1\right) \left(x^{2}\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} = - \frac{x^{4} \left(- x - 1\right)}{\left(1 - x\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x - 1\right) \left(x^{2}\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} = \frac{x^{4} \left(- x - 1\right)}{\left(1 - x\right)^{2}}$$
- No
$$\frac{\left(x - 1\right) \left(x^{2}\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} = - \frac{x^{4} \left(- x - 1\right)}{\left(1 - x\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar