Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{x^{4} \left(- 2 x - 2\right) \left(x - 1\right)}{\left(x + 1\right)^{4}} + \frac{4 x^{3} \left(x - 1\right) + \left(x^{2}\right)^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{57}}{6}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{57}}{6} - \frac{1}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
4
/ ____\ / ____\
| 1 \/ 57 | | 3 \/ 57 |
____ |- - + ------| *|- - + ------|
1 \/ 57 \ 2 6 / \ 2 6 /
(- - + ------, ------------------------------)
2 6 2
/ ____\
|1 \/ 57 |
|- + ------|
\2 6 /
4
/ ____\ / ____\
| 1 \/ 57 | | 3 \/ 57 |
____ |- - - ------| *|- - - ------|
1 \/ 57 \ 2 6 / \ 2 6 /
(- - - ------, ------------------------------)
2 6 2
/ ____\
|1 \/ 57 |
|- - ------|
\2 6 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{57}}{6}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{57}}{6} - \frac{1}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{57}}{6} - \frac{1}{2}\right] \cup \left[- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{57}}{6}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{57}}{6}\right]$$