Sr Examen

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(3x^2-16x+16)/(x-1)
Trazado el gráfico de la función/ (3x^2-16x+16)/(x-1)

Gráfico de la función y = (3x^2-16x+16)/(x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2            
       3*x  - 16*x + 16
f(x) = ----------------
            x - 1
f(x)=(3x2−16x)+16x−1f{\left(x \right)} = \frac{\left(3 x^{2} - 16 x\right) + 16}{x - 1} 
f = (3*x^2 - 16*x + 16)/(x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(3x2−16x)+16x−1=0\frac{\left(3 x^{2} - 16 x\right) + 16}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=43x_{1} = \frac{4}{3}
x2=4x_{2} = 4
Solución numérica
x1=1.33333333333333x_{1} = 1.33333333333333
x2=4x_{2} = 4
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (3*x^2 - 16*x + 16)/(x - 1).
(3⋅02−0)+16−1\frac{\left(3 \cdot 0^{2} - 0\right) + 16}{-1}
Resultado:
f(0)=−16f{\left(0 \right)} = -16
Punto:
(0, -16)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
6x−16x−1−(3x2−16x)+16(x−1)2=0\frac{6 x - 16}{x - 1} - \frac{\left(3 x^{2} - 16 x\right) + 16}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=2x_{2} = 2
Signos de extremos en los puntos:
(0, -16)

(2, -4)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2x_{1} = 2
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[2,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,2]\left[0, 2\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3−2(3x−8)x−1+3x2−16x+16(x−1)2)x−1=0\frac{2 \left(3 - \frac{2 \left(3 x - 8\right)}{x - 1} + \frac{3 x^{2} - 16 x + 16}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((3x2−16x)+16x−1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(3 x^{2} - 16 x\right) + 16}{x - 1}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((3x2−16x)+16x−1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x^{2} - 16 x\right) + 16}{x - 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (3*x^2 - 16*x + 16)/(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((3x2−16x)+16x(x−1))=3\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(3 x^{2} - 16 x\right) + 16}{x \left(x - 1\right)}\right) = 3
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=3xy = 3 x
lim⁡x→∞((3x2−16x)+16x(x−1))=3\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(3 x^{2} - 16 x\right) + 16}{x \left(x - 1\right)}\right) = 3
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=3xy = 3 x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(3x2−16x)+16x−1=3x2+16x+16−x−1\frac{\left(3 x^{2} - 16 x\right) + 16}{x - 1} = \frac{3 x^{2} + 16 x + 16}{- x - 1}
- No
(3x2−16x)+16x−1=−3x2+16x+16−x−1\frac{\left(3 x^{2} - 16 x\right) + 16}{x - 1} = - \frac{3 x^{2} + 16 x + 16}{- x - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (3x^2-16x+16)/(x-1)
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