Sr Examen

Gráfico de la función y = 2x+1/(x+5)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
               1  
f(x) = 2*x + -----
             x + 5
$$f{\left(x \right)} = 2 x + \frac{1}{x + 5}$$
f = 2*x + 1/(x + 5)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -5$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$2 x + \frac{1}{x + 5} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{23}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{23}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -4.89791576165636$$
$$x_{2} = -0.10208423834364$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*x + 1/(x + 5).
$$0 \cdot 2 + \frac{1}{5}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{1}{5}$$
Punto:
(0, 1/5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 - \frac{1}{\left(x + 5\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -5 - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{2} = -5 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
        ___                
      \/ 2             ___ 
(-5 - -----, -10 - 2*\/ 2 )
        2                  

        ___                
      \/ 2             ___ 
(-5 + -----, -10 + 2*\/ 2 )
        2                  


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -5 + \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -5 - \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -5 - \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[-5 + \frac{\sqrt{2}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[-5 - \frac{\sqrt{2}}{2}, -5 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2}{\left(x + 5\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -5$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2 x + \frac{1}{x + 5}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(2 x + \frac{1}{x + 5}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*x + 1/(x + 5), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + \frac{1}{x + 5}}{x}\right) = 2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = 2 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + \frac{1}{x + 5}}{x}\right) = 2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = 2 x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$2 x + \frac{1}{x + 5} = - 2 x + \frac{1}{5 - x}$$
- No
$$2 x + \frac{1}{x + 5} = 2 x - \frac{1}{5 - x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar