Sr Examen

Otras calculadoras

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • x-x^3 x-x^3
  • x^4-x^3 x^4-x^3
  • x^4-2x^2 x^4-2x^2
  • x^2-3*x+1 x^2-3*x+1
  • Derivada de:
  • (x^2+2*x-1)/x^2 (x^2+2*x-1)/x^2

  • Expresiones idénticas

  • (x^ dos + dos *x- uno)/x^ dos
  • (x al cuadrado más 2 multiplicar por x menos 1) dividir por x al cuadrado
  • (x en el grado dos más dos multiplicar por x menos uno) dividir por x en el grado dos
  • (x2+2*x-1)/x2
  • x2+2*x-1/x2
  • (x²+2*x-1)/x²
  • (x en el grado 2+2*x-1)/x en el grado 2
  • (x^2+2x-1)/x^2
  • (x2+2x-1)/x2
  • x2+2x-1/x2
  • x^2+2x-1/x^2
  • (x^2+2*x-1) dividir por x^2

  • Expresiones semejantes

  • (x^2+2*x+1)/x^2
  • (x^2-2*x-1)/x^2
Trazado el gráfico de la función/ (x^2+2*x-1)/x^2

Gráfico de la función y = (x^2+2*x-1)/x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2          
       x  + 2*x - 1
f(x) = ------------
             2     
            x
f(x)=(x2+2x)−1x2f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} + 2 x\right) - 1}{x^{2}} 
f = (x^2 + 2*x - 1)/x^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2+2x)−1x2=0\frac{\left(x^{2} + 2 x\right) - 1}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1+2x_{1} = -1 + \sqrt{2}
x2=−2−1x_{2} = - \sqrt{2} - 1
Solución numérica
x1=0.414213562373095x_{1} = 0.414213562373095
x2=−2.41421356237309x_{2} = -2.41421356237309
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 + 2*x - 1)/x^2.
−1+(02+0⋅2)02\frac{-1 + \left(0^{2} + 0 \cdot 2\right)}{0^{2}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x+2x2−2((x2+2x)−1)x3=0\frac{2 x + 2}{x^{2}} - \frac{2 \left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 1\right)}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
Signos de extremos en los puntos:
(1, 2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=1x_{1} = 1
Decrece en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Crece en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(1−4(x+1)x+3(x2+2x−1)x2)x2=0\frac{2 \left(1 - \frac{4 \left(x + 1\right)}{x} + \frac{3 \left(x^{2} + 2 x - 1\right)}{x^{2}}\right)}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=32x_{1} = \frac{3}{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(2(1−4(x+1)x+3(x2+2x−1)x2)x2)=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{4 \left(x + 1\right)}{x} + \frac{3 \left(x^{2} + 2 x - 1\right)}{x^{2}}\right)}{x^{2}}\right) = -\infty
lim⁡x→0+(2(1−4(x+1)x+3(x2+2x−1)x2)x2)=−∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(1 - \frac{4 \left(x + 1\right)}{x} + \frac{3 \left(x^{2} + 2 x - 1\right)}{x^{2}}\right)}{x^{2}}\right) = -\infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[32,∞)\left[\frac{3}{2}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,32]\left(-\infty, \frac{3}{2}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x2+2x)−1x2)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 2 x\right) - 1}{x^{2}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞((x2+2x)−1x2)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 2 x\right) - 1}{x^{2}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 + 2*x - 1)/x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2+2x)−1xx2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 2 x\right) - 1}{x x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((x2+2x)−1xx2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} + 2 x\right) - 1}{x x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2+2x)−1x2=x2−2x−1x2\frac{\left(x^{2} + 2 x\right) - 1}{x^{2}} = \frac{x^{2} - 2 x - 1}{x^{2}}
- No
(x2+2x)−1x2=−x2−2x−1x2\frac{\left(x^{2} + 2 x\right) - 1}{x^{2}} = - \frac{x^{2} - 2 x - 1}{x^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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