Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x*e^(2x)

Gráfico de la función y = x*e^(2x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2*x
f(x) = x*E
f(x)=e2xxf{\left(x \right)} = e^{2 x} x 
f = E^(2*x)*x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-50000000005000000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e2xx=0e^{2 x} x = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=−32.567273706796x_{1} = -32.567273706796
x2=−108.417456216542x_{2} = -108.417456216542
x3=−84.4332052360421x_{3} = -84.4332052360421
x4=−30.5841669729212x_{4} = -30.5841669729212
x5=−94.4256007756744x_{5} = -94.4256007756744
x6=−96.4242823853152x_{6} = -96.4242823853152
x7=−24.6581187031698x_{7} = -24.6581187031698
x8=−44.5036237757639x_{8} = -44.5036237757639
x9=−102.420656323043x_{9} = -102.420656323043
x10=−106.418480319111x_{10} = -106.418480319111
x11=−34.5528319076254x_{11} = -34.5528319076254
x12=−72.4453678375428x_{12} = -72.4453678375428
x13=−66.4532716391802x_{13} = -66.4532716391802
x14=−110.416471439679x_{14} = -110.416471439679
x15=−82.434965914994x_{15} = -82.434965914994
x16=−15.0740840979127x_{16} = -15.0740840979127
x17=−38.5294259176999x_{17} = -38.5294259176999
x18=−48.4905367883253x_{18} = -48.4905367883253
x19=−42.5112629711588x_{19} = -42.5112629711588
x20=−78.4387803330419x_{20} = -78.4387803330419
x21=−68.4504671725702x_{21} = -68.4504671725702
x22=−52.479732054378x_{22} = -52.479732054378
x23=−58.4666463153532x_{23} = -58.4666463153532
x24=−88.4299412042358x_{24} = -88.4299412042358
x25=−90.4284256014174x_{25} = -90.4284256014174
x26=−74.443042965628x_{26} = -74.443042965628
x27=−22.6957023751319x_{27} = -22.6957023751319
x28=−64.4562694336153x_{28} = -64.4562694336153
x29=−98.4230212294978x_{29} = -98.4230212294978
x30=−62.4594813057761x_{30} = -62.4594813057761
x31=−92.4269803908933x_{31} = -92.4269803908933
x32=−100.421813657552x_{32} = -100.421813657552
x33=−70.4478378859715x_{33} = -70.4478378859715
x34=−50.4848882937228x_{34} = -50.4848882937228
x35=−54.4750062227357x_{35} = -54.4750062227357
x36=−26.628369572651x_{36} = -26.628369572651
x37=−60.4629310925067x_{37} = -60.4629310925067
x38=0x_{38} = 0
x39=−20.7448218335939x_{39} = -20.7448218335939
x40=−104.419546152707x_{40} = -104.419546152707
x41=−56.4706589232168x_{41} = -56.4706589232168
x42=−36.5403401551302x_{42} = -36.5403401551302
x43=−18.8120890441258x_{43} = -18.8120890441258
x44=−16.9108476139709x_{44} = -16.9108476139709
x45=−86.4315324762772x_{45} = -86.4315324762772
x46=−40.5198064107757x_{46} = -40.5198064107757
x47=−46.4967518857691x_{47} = -46.4967518857691
x48=−80.4368216405647x_{48} = -80.4368216405647
x49=−28.6042039159275x_{49} = -28.6042039159275
x50=−76.4408508191288x_{50} = -76.4408508191288
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x*E^(2*x).
0e0⋅20 e^{0 \cdot 2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2xe2x+e2x=02 x e^{2 x} + e^{2 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
Signos de extremos en los puntos:
         -1  
       -e    
(-1/2, -----)
         2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−12,∞)\left[- \frac{1}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−12]\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(x+1)e2x=04 \left(x + 1\right) e^{2 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−1x_{1} = -1

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−1,∞)\left[-1, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−1]\left(-\infty, -1\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(e2xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(e^{2 x} x\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(e2xx)=∞\lim_{x \to \infty}\left(e^{2 x} x\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x*E^(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞e2x=0\lim_{x \to -\infty} e^{2 x} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞e2x=∞\lim_{x \to \infty} e^{2 x} = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e2xx=−xe−2xe^{2 x} x = - x e^{- 2 x}
- No
e2xx=xe−2xe^{2 x} x = x e^{- 2 x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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