Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(2(x-2)^2(8-x))^(1/3)-1

Gráfico de la función y = sqrt(2(x-2)^2(8-x))^(1/3)-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           _________________________    
          /    ____________________     
       3 /    /          2              
f(x) = \/   \/  2*(x - 2) *(8 - x)   - 1
f(x)=(8−x)2(x−2)23−1f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{\sqrt{\left(8 - x\right) 2 \left(x - 2\right)^{2}}} - 1 
f = (sqrt((8 - x)*(2*(x - 2)^2)))^(1/3) - 1
Gráfico de la función
0.06.00.51.01.52.02.53.03.54.04.55.05.52-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(8−x)2(x−2)23−1=0\sqrt[3]{\sqrt{\left(8 - x\right) 2 \left(x - 2\right)^{2}}} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (sqrt((2*(x - 2)^2)*(8 - x)))^(1/3) - 1.
−1+2(−2)2(8−0)3-1 + \sqrt[3]{\sqrt{2 \left(-2\right)^{2} \left(8 - 0\right)}}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2(8−x)(x−2)26((8−x)(4x−8)2−(x−2)2)6(8−x)(x−2)2=0\frac{\sqrt[6]{2 \left(8 - x\right) \left(x - 2\right)^{2}} \left(\frac{\left(8 - x\right) \left(4 x - 8\right)}{2} - \left(x - 2\right)^{2}\right)}{6 \left(8 - x\right) \left(x - 2\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=6x_{1} = 6
Signos de extremos en los puntos:
(6, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=6x_{1} = 6
Decrece en los intervalos
(−∞,6]\left(-\infty, 6\right]
Crece en los intervalos
[6,∞)\left[6, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
26(x−6x−2−x−4x−2+(x−6)24(8−x)(x−2)−x−62(8−x))∣x−2∣3(8−x)56(x−2)=0\frac{\sqrt[6]{2} \left(\frac{x - 6}{x - 2} - \frac{x - 4}{x - 2} + \frac{\left(x - 6\right)^{2}}{4 \left(8 - x\right) \left(x - 2\right)} - \frac{x - 6}{2 \left(8 - x\right)}\right) \sqrt[3]{\left|{x - 2}\right|}}{\left(8 - x\right)^{\frac{5}{6}} \left(x - 2\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((8−x)2(x−2)23−1)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt[3]{\sqrt{\left(8 - x\right) 2 \left(x - 2\right)^{2}}} - 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((8−x)2(x−2)23−1)=∞−26\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt[3]{\sqrt{\left(8 - x\right) 2 \left(x - 2\right)^{2}}} - 1\right) = \infty \sqrt[6]{-2}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=∞−26y = \infty \sqrt[6]{-2}
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (sqrt((2*(x - 2)^2)*(8 - x)))^(1/3) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((8−x)2(x−2)23−1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(8 - x\right) 2 \left(x - 2\right)^{2}}} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((8−x)2(x−2)23−1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{\sqrt{\left(8 - x\right) 2 \left(x - 2\right)^{2}}} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(8−x)2(x−2)23−1=26x+86∣x+2∣3−1\sqrt[3]{\sqrt{\left(8 - x\right) 2 \left(x - 2\right)^{2}}} - 1 = \sqrt[6]{2} \sqrt[6]{x + 8} \sqrt[3]{\left|{x + 2}\right|} - 1
- No
(8−x)2(x−2)23−1=−26x+86∣x+2∣3+1\sqrt[3]{\sqrt{\left(8 - x\right) 2 \left(x - 2\right)^{2}}} - 1 = - \sqrt[6]{2} \sqrt[6]{x + 8} \sqrt[3]{\left|{x + 2}\right|} + 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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