Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (5x-2)/(x-3)^2

Gráfico de la función y = (5x-2)/(x-3)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       5*x - 2 
f(x) = --------
              2
       (x - 3)
f(x)=5x−2(x−3)2f{\left(x \right)} = \frac{5 x - 2}{\left(x - 3\right)^{2}} 
f = (5*x - 2)/(x - 3)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101020000-10000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=3x_{1} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
5x−2(x−3)2=0\frac{5 x - 2}{\left(x - 3\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=25x_{1} = \frac{2}{5}
Solución numérica
x1=0.4x_{1} = 0.4
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (5*x - 2)/(x - 3)^2.
−2+0⋅5(−3)2\frac{-2 + 0 \cdot 5}{\left(-3\right)^{2}}
Resultado:
f(0)=−29f{\left(0 \right)} = - \frac{2}{9}
Punto:
(0, -2/9)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(6−2x)(5x−2)(x−3)4+5(x−3)2=0\frac{\left(6 - 2 x\right) \left(5 x - 2\right)}{\left(x - 3\right)^{4}} + \frac{5}{\left(x - 3\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−115x_{1} = - \frac{11}{5}
Signos de extremos en los puntos:
        -25  
(-11/5, ----)
         52


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−115x_{1} = - \frac{11}{5}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−115,∞)\left[- \frac{11}{5}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−115]\left(-\infty, - \frac{11}{5}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−10+3(5x−2)x−3)(x−3)3=0\frac{2 \left(-10 + \frac{3 \left(5 x - 2\right)}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right)^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−245x_{1} = - \frac{24}{5}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=3x_{1} = 3

lim⁡x→3−(2(−10+3(5x−2)x−3)(x−3)3)=∞\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(-10 + \frac{3 \left(5 x - 2\right)}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right)^{3}}\right) = \infty
lim⁡x→3+(2(−10+3(5x−2)x−3)(x−3)3)=∞\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(-10 + \frac{3 \left(5 x - 2\right)}{x - 3}\right)}{\left(x - 3\right)^{3}}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−245,∞)\left[- \frac{24}{5}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−245]\left(-\infty, - \frac{24}{5}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=3x_{1} = 3
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(5x−2(x−3)2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 x - 2}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(5x−2(x−3)2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x - 2}{\left(x - 3\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (5*x - 2)/(x - 3)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(5x−2x(x−3)2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 x - 2}{x \left(x - 3\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(5x−2x(x−3)2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 x - 2}{x \left(x - 3\right)^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
5x−2(x−3)2=−5x−2(−x−3)2\frac{5 x - 2}{\left(x - 3\right)^{2}} = \frac{- 5 x - 2}{\left(- x - 3\right)^{2}}
- No
5x−2(x−3)2=−−5x−2(−x−3)2\frac{5 x - 2}{\left(x - 3\right)^{2}} = - \frac{- 5 x - 2}{\left(- x - 3\right)^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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