Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ arctg(x/(x^2-1))

Gráfico de la función y = arctg(x/(x^2-1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           /  x   \
f(x) = atan|------|
           | 2    |
           \x  - 1/
f(x)=atan⁡(xx2−1)f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)} 
f = atan(x/(x^2 - 1))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
atan⁡(xx2−1)=0\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en atan(x/(x^2 - 1)).
atan⁡(0−1+02)\operatorname{atan}{\left(\frac{0}{-1 + 0^{2}} \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x2(x2−1)2+1x2−1x2(x2−1)2+1=0\frac{- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1}}{\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2x(4x2x2−1−3−(2x2x2−1−1)2(x2−1)(x2(x2−1)2+1))(x2−1)2(x2(x2−1)2+1)=0\frac{2 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3 - \frac{\left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} - 1\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2} \left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−−1+3x_{2} = - \sqrt{-1 + \sqrt{3}}
x3=−1+3x_{3} = \sqrt{-1 + \sqrt{3}}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1

lim⁡x→−1−(2x(4x2x2−1−3−(2x2x2−1−1)2(x2−1)(x2(x2−1)2+1))(x2−1)2(x2(x2−1)2+1))=−2\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3 - \frac{\left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} - 1\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2} \left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right) = -2
lim⁡x→−1+(2x(4x2x2−1−3−(2x2x2−1−1)2(x2−1)(x2(x2−1)2+1))(x2−1)2(x2(x2−1)2+1))=−2\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3 - \frac{\left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} - 1\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2} \left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right) = -2
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
lim⁡x→1−(2x(4x2x2−1−3−(2x2x2−1−1)2(x2−1)(x2(x2−1)2+1))(x2−1)2(x2(x2−1)2+1))=2\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3 - \frac{\left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} - 1\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2} \left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right) = 2
lim⁡x→1+(2x(4x2x2−1−3−(2x2x2−1−1)2(x2−1)(x2(x2−1)2+1))(x2−1)2(x2(x2−1)2+1))=2\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3 - \frac{\left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} - 1\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2} \left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right) = 2
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−−1+3,0]∪[−1+3,∞)\left[- \sqrt{-1 + \sqrt{3}}, 0\right] \cup \left[\sqrt{-1 + \sqrt{3}}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−−1+3]∪[0,−1+3]\left(-\infty, - \sqrt{-1 + \sqrt{3}}\right] \cup \left[0, \sqrt{-1 + \sqrt{3}}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞atan⁡(xx2−1)=0\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞atan⁡(xx2−1)=0\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(x/(x^2 - 1)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(atan⁡(xx2−1)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(atan⁡(xx2−1)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
atan⁡(xx2−1)=−atan⁡(xx2−1)\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)}
- No
atan⁡(xx2−1)=atan⁡(xx2−1)\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)}
- Sí
es decir, función
es
impar
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