Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x-x^3
-
x^4-2x^2
-
1-x^3
-
x^2/(x-3)
-
Expresiones idénticas
- arctg(x/(x^ dos - uno))
- arctg(x dividir por (x al cuadrado menos 1))
- arctg(x dividir por (x en el grado dos menos uno))
- arctg(x/(x2-1))
- arctgx/x2-1
- arctg(x/(x²-1))
- arctg(x/(x en el grado 2-1))
- arctgx/x^2-1
- arctg(x dividir por (x^2-1))
-
Expresiones semejantes
- arctg(x/(x^2+1))
-
Expresiones con funciones
- arctg
- arctg(2/(x-1))
- arctg(1/((x^2)-4))
- arctg(sinx)
- arctg(3/x)
- arctg(sinx-cosx/(2^0.5))
Gráfico de la función y = arctg(x/(x^2-1))
Solución
Ha introducido
[src]
/ x \
f(x) = atan|------|
| 2 |
\x - 1/
$$f{\left(x \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)}$$
f = atan(x/(x^2 - 1))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1}}{\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1}}{\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3 - \frac{\left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} - 1\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2} \left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{-1 + \sqrt{3}}$$
$$x_{3} = \sqrt{-1 + \sqrt{3}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3 - \frac{\left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} - 1\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2} \left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right) = -2$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3 - \frac{\left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} - 1\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2} \left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right) = -2$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3 - \frac{\left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} - 1\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2} \left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3 - \frac{\left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} - 1\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2} \left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right) = 2$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \sqrt{-1 + \sqrt{3}}, 0\right] \cup \left[\sqrt{-1 + \sqrt{3}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{-1 + \sqrt{3}}\right] \cup \left[0, \sqrt{-1 + \sqrt{3}}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3 - \frac{\left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} - 1\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2} \left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{-1 + \sqrt{3}}$$
$$x_{3} = \sqrt{-1 + \sqrt{3}}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3 - \frac{\left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} - 1\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2} \left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right) = -2$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3 - \frac{\left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} - 1\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2} \left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right) = -2$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3 - \frac{\left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} - 1\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2} \left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 3 - \frac{\left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} - 1\right) \left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2} \left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + 1\right)}\right) = 2$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \sqrt{-1 + \sqrt{3}}, 0\right] \cup \left[\sqrt{-1 + \sqrt{3}}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{-1 + \sqrt{3}}\right] \cup \left[0, \sqrt{-1 + \sqrt{3}}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)} = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función atan(x/(x^2 - 1)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)}$$
- No
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)}$$
- Sí
es decir, función
es
impar
Pues, comprobamos:
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)} = - \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)}$$
- No
$$\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)} = \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{x^{2} - 1} \right)}$$
- Sí
es decir, función
es
impar