Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ cbrt(9x-6x^2+x^3)-x

Gráfico de la función y = cbrt(9x-6x^2+x^3)-x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          _________________    
       3 /          2    3     
f(x) = \/  9*x - 6*x  + x   - x
f(x)=−x+x3+(−6x2+9x)3f{\left(x \right)} = - x + \sqrt[3]{x^{3} + \left(- 6 x^{2} + 9 x\right)} 
f = -x + (x^3 - 6*x^2 + 9*x)^(1/3)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10105-5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x+x3+(−6x2+9x)3=0- x + \sqrt[3]{x^{3} + \left(- 6 x^{2} + 9 x\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=32x_{2} = \frac{3}{2}
Solución numérica
x1=1.5x_{1} = 1.5
x2=8.23936563533896⋅1025x_{2} = 8.23936563533896 \cdot 10^{25}
x3=8.26379438759615⋅1025x_{3} = 8.26379438759615 \cdot 10^{25}
x4=8.5496057052787⋅1025x_{4} = 8.5496057052787 \cdot 10^{25}
x5=8.34241852766458⋅1025x_{5} = 8.34241852766458 \cdot 10^{25}
x6=8.1594597262844⋅1025x_{6} = 8.1594597262844 \cdot 10^{25}
x7=8.28903215693337⋅1025x_{7} = 8.28903215693337 \cdot 10^{25}
x8=8.36955167690013⋅1025x_{8} = 8.36955167690013 \cdot 10^{25}
x9=8.5153108280344⋅1025x_{9} = 8.5153108280344 \cdot 10^{25}
x10=8.43830253504556⋅1025x_{10} = 8.43830253504556 \cdot 10^{25}
x11=8.13695822190987⋅1025x_{11} = 8.13695822190987 \cdot 10^{25}
x12=8.41167533532819⋅1025x_{12} = 8.41167533532819 \cdot 10^{25}
x13=8.04550302398432⋅1025x_{13} = 8.04550302398432 \cdot 10^{25}
x14=8.28448239324018⋅1025x_{14} = 8.28448239324018 \cdot 10^{25}
x15=8.33424704173141⋅1025x_{15} = 8.33424704173141 \cdot 10^{25}
x16=8.23947811745586⋅1025x_{16} = 8.23947811745586 \cdot 10^{25}
x17=8.23381855808102⋅1025x_{17} = 8.23381855808102 \cdot 10^{25}
x18=8.49414867130651⋅1025x_{18} = 8.49414867130651 \cdot 10^{25}
x19=8.51788832630925⋅1025x_{19} = 8.51788832630925 \cdot 10^{25}
x20=8.05864421771863⋅1025x_{20} = 8.05864421771863 \cdot 10^{25}
x21=8.23402115386281⋅1025x_{21} = 8.23402115386281 \cdot 10^{25}
x22=8.17187613910691⋅1025x_{22} = 8.17187613910691 \cdot 10^{25}
x23=8.48092421594011⋅1025x_{23} = 8.48092421594011 \cdot 10^{25}
x24=8.17721769487367⋅1025x_{24} = 8.17721769487367 \cdot 10^{25}
x25=8.27652123198258⋅1025x_{25} = 8.27652123198258 \cdot 10^{25}
x26=8.20406562776159⋅1025x_{26} = 8.20406562776159 \cdot 10^{25}
x27=8.23724373507443⋅1025x_{27} = 8.23724373507443 \cdot 10^{25}
x28=8.23198010452409⋅1025x_{28} = 8.23198010452409 \cdot 10^{25}
x29=8.25100834211018⋅1025x_{29} = 8.25100834211018 \cdot 10^{25}
x30=8.63466804857203⋅1025x_{30} = 8.63466804857203 \cdot 10^{25}
x31=8.22421524691256⋅1025x_{31} = 8.22421524691256 \cdot 10^{25}
x32=8.30400258287407⋅1025x_{32} = 8.30400258287407 \cdot 10^{25}
x33=8.23528935571267⋅1025x_{33} = 8.23528935571267 \cdot 10^{25}
x34=8.34473443691119⋅1025x_{34} = 8.34473443691119 \cdot 10^{25}
x35=8.1538872148846⋅1025x_{35} = 8.1538872148846 \cdot 10^{25}
x36=8.09813401501051⋅1025x_{36} = 8.09813401501051 \cdot 10^{25}
x37=0x_{37} = 0
x38=8.14881251858252⋅1025x_{38} = 8.14881251858252 \cdot 10^{25}
x39=8.25933072785151⋅1025x_{39} = 8.25933072785151 \cdot 10^{25}
x40=8.54159477829963⋅1025x_{40} = 8.54159477829963 \cdot 10^{25}
x41=8.4256266832946⋅1025x_{41} = 8.4256266832946 \cdot 10^{25}
x42=8.30098402286011⋅1025x_{42} = 8.30098402286011 \cdot 10^{25}
x43=8.24701683607793⋅1025x_{43} = 8.24701683607793 \cdot 10^{25}
x44=8.44362251535579⋅1025x_{44} = 8.44362251535579 \cdot 10^{25}
x45=8.00949200548136⋅1025x_{45} = 8.00949200548136 \cdot 10^{25}
x46=8.2345635699342⋅1025x_{46} = 8.2345635699342 \cdot 10^{25}
x47=8.09168039383077⋅1025x_{47} = 8.09168039383077 \cdot 10^{25}
x48=8.336221240743⋅1025x_{48} = 8.336221240743 \cdot 10^{25}
x49=8.3726414903237⋅1025x_{49} = 8.3726414903237 \cdot 10^{25}
x50=8.1242706416633⋅1025x_{50} = 8.1242706416633 \cdot 10^{25}
x51=8.21782415476143⋅1025x_{51} = 8.21782415476143 \cdot 10^{25}
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (9*x - 6*x^2 + x^3)^(1/3) - x.
(0⋅9−6⋅02)+033−0\sqrt[3]{\left(0 \cdot 9 - 6 \cdot 0^{2}\right) + 0^{3}} - 0
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−1+x2−4x+3(x3+(−6x2+9x))23=0-1 + \frac{x^{2} - 4 x + 3}{\left(x^{3} + \left(- 6 x^{2} + 9 x\right)\right)^{\frac{2}{3}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=13x_{1} = \frac{1}{3}
Signos de extremos en los puntos:
(1/3, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=13x_{1} = \frac{1}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,13]\left(-\infty, \frac{1}{3}\right]
Crece en los intervalos
[13,∞)\left[\frac{1}{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(x−2−(x2−4x+3)2x(x2−6x+9))(x(x2−6x+9))23=0\frac{2 \left(x - 2 - \frac{\left(x^{2} - 4 x + 3\right)^{2}}{x \left(x^{2} - 6 x + 9\right)}\right)}{\left(x \left(x^{2} - 6 x + 9\right)\right)^{\frac{2}{3}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−x+x3+(−6x2+9x)3)=∞sign⁡(1+−13)\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \sqrt[3]{x^{3} + \left(- 6 x^{2} + 9 x\right)}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(1 + \sqrt[3]{-1} \right)}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=∞sign⁡(1+−13)y = \infty \operatorname{sign}{\left(1 + \sqrt[3]{-1} \right)}
lim⁡x→∞(−x+x3+(−6x2+9x)3)=−2\lim_{x \to \infty}\left(- x + \sqrt[3]{x^{3} + \left(- 6 x^{2} + 9 x\right)}\right) = -2
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=−2y = -2
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (9*x - 6*x^2 + x^3)^(1/3) - x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−x+x3+(−6x2+9x)3x)=−1−−13\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x + \sqrt[3]{x^{3} + \left(- 6 x^{2} + 9 x\right)}}{x}\right) = -1 - \sqrt[3]{-1}
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=x(−1−−13)y = x \left(-1 - \sqrt[3]{-1}\right)
lim⁡x→∞(−x+x3+(−6x2+9x)3x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + \sqrt[3]{x^{3} + \left(- 6 x^{2} + 9 x\right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x+x3+(−6x2+9x)3=x+−x3−6x2−9x3- x + \sqrt[3]{x^{3} + \left(- 6 x^{2} + 9 x\right)} = x + \sqrt[3]{- x^{3} - 6 x^{2} - 9 x}
- No
−x+x3+(−6x2+9x)3=−x−−x3−6x2−9x3- x + \sqrt[3]{x^{3} + \left(- 6 x^{2} + 9 x\right)} = - x - \sqrt[3]{- x^{3} - 6 x^{2} - 9 x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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