Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x^2)/(1+x)

Gráfico de la función y = (x^2)/(1+x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2 
         x  
f(x) = -----
       1 + x
f(x)=x2x+1f{\left(x \right)} = \frac{x^{2}}{x + 1} 
f = x^2/(x + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2x+1=0\frac{x^{2}}{x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2/(1 + x).
021\frac{0^{2}}{1}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x2(x+1)2+2xx+1=0- \frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2 x}{x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2
x2=0x_{2} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(-2, -4)

(0, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=−2x_{1} = -2
Decrece en los intervalos
(−∞,−2]∪[0,∞)\left(-\infty, -2\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−2,0]\left[-2, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(x2(x+1)2−2xx+1+1)x+1=0\frac{2 \left(\frac{x^{2}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2 x}{x + 1} + 1\right)}{x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2x+1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x + 1}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2x+1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x + 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2/(1 + x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(xx+1)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{x + 1}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞(xx+1)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x + 1}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2x+1=x21−x\frac{x^{2}}{x + 1} = \frac{x^{2}}{1 - x}
- No
x2x+1=−x21−x\frac{x^{2}}{x + 1} = - \frac{x^{2}}{1 - x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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