Sr Examen

Otras calculadoras

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • x^3/3-4*x x^3/3-4*x
  • x^3-6*x^2+9*x+1 x^3-6*x^2+9*x+1
  • y=x+2 y=x+2
  • (x^3-x^2)/(4-x^2) (x^3-x^2)/(4-x^2)
  • Integral de d{x}:
  • (1+x^2)/(1-x^2)^2
  • Expresiones idénticas

  • (uno +x^ dos)/(uno -x^ dos)^ dos
  • (1 más x al cuadrado ) dividir por (1 menos x al cuadrado ) al cuadrado
  • (uno más x en el grado dos) dividir por (uno menos x en el grado dos) en el grado dos
  • (1+x2)/(1-x2)2
  • 1+x2/1-x22
  • (1+x²)/(1-x²)²
  • (1+x en el grado 2)/(1-x en el grado 2) en el grado 2
  • 1+x^2/1-x^2^2
  • (1+x^2) dividir por (1-x^2)^2
  • Expresiones semejantes

  • (1+x^2)/(1+x^2)^2
  • (1-x^2)/(1-x^2)^2

Gráfico de la función y = (1+x^2)/(1-x^2)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
              2 
         1 + x  
f(x) = ---------
               2
       /     2\ 
       \1 - x / 
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} + 1}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}}$$
f = (x^2 + 1)/(1 - x^2)^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{2} + 1}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (1 + x^2)/(1 - x^2)^2.
$$\frac{0^{2} + 1}{\left(1 - 0^{2}\right)^{2}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{4 x \left(x^{2} + 1\right)}{\left(1 - x^{2}\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{8 x^{2}}{x^{2} - 1} + 1 + \frac{2 \left(x^{2} + 1\right) \left(\frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{x^{2} - 1}\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (1 + x^2)/(1 - x^2)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x \left(1 - x^{2}\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x \left(1 - x^{2}\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{2} + 1}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}} = \frac{x^{2} + 1}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}}$$
- Sí
$$\frac{x^{2} + 1}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}} = - \frac{x^{2} + 1}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
es
par