Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^4-x^2+2
-
(x^2-5)/(x-3)
-
(x^2-9)/(x^2-4)
-
(x+1)*(x-2)^2
- Integral de d{x}:
- (1+x^2)/(1-x^2)^2
-
Expresiones idénticas
- (uno +x^ dos)/(uno -x^ dos)^ dos
- (1 más x al cuadrado ) dividir por (1 menos x al cuadrado ) al cuadrado
- (uno más x en el grado dos) dividir por (uno menos x en el grado dos) en el grado dos
- (1+x2)/(1-x2)2
- 1+x2/1-x22
- (1+x²)/(1-x²)²
- (1+x en el grado 2)/(1-x en el grado 2) en el grado 2
- 1+x^2/1-x^2^2
- (1+x^2) dividir por (1-x^2)^2
-
Expresiones semejantes
- (1+x^2)/(1+x^2)^2
- (1-x^2)/(1-x^2)^2
Gráfico de la función y = (1+x^2)/(1-x^2)^2
Solución
Ha introducido
[src]
2
1 + x
f(x) = ---------
2
/ 2\
\1 - x /
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} + 1}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}}$$
f = (x^2 + 1)/(1 - x^2)^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{2} + 1}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{2} + 1}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{4 x \left(x^{2} + 1\right)}{\left(1 - x^{2}\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2 x}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}} + \frac{4 x \left(x^{2} + 1\right)}{\left(1 - x^{2}\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 0$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{8 x^{2}}{x^{2} - 1} + 1 + \frac{2 \left(x^{2} + 1\right) \left(\frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{x^{2} - 1}\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{8 x^{2}}{x^{2} - 1} + 1 + \frac{2 \left(x^{2} + 1\right) \left(\frac{6 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{x^{2} - 1}\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (1 + x^2)/(1 - x^2)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x \left(1 - x^{2}\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x \left(1 - x^{2}\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x \left(1 - x^{2}\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x \left(1 - x^{2}\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{2} + 1}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}} = \frac{x^{2} + 1}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}}$$
- Sí
$$\frac{x^{2} + 1}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}} = - \frac{x^{2} + 1}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{2} + 1}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}} = \frac{x^{2} + 1}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}}$$
- Sí
$$\frac{x^{2} + 1}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}} = - \frac{x^{2} + 1}{\left(1 - x^{2}\right)^{2}}$$
- No
es decir, función
es
par