Gráfico de la función y = (absolute(2x+1))/sqr(x)

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       |2*x + 1|
f(x) = ---------
            2   
           x

f{\left(x \right)} = \frac{\left|{2 x + 1}\right|}{x^{2}}

f = |2*x + 1|/x^2

Gráfico de la función

Dominio de definición de la función

Puntos en los que la función no está definida exactamente:

x_{1} = 0

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:

\frac{\left|{2 x + 1}\right|}{x^{2}} = 0

Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica

x_{1} = - \frac{1}{2}

Solución numérica

x_{1} = -0.5

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en |2*x + 1|/x^2.

\frac{\left|{0 \cdot 2 + 1}\right|}{0^{2}}

Resultado:

f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}

signof no cruza Y

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0

(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =

\frac{2 \operatorname{sign}{\left(2 x + 1 \right)}}{x^{2}} - \frac{2 \left|{2 x + 1}\right|}{x^{3}} = 0

Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0

(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =

\frac{2 \left(4 \delta\left(2 x + 1\right) - \frac{4 \operatorname{sign}{\left(2 x + 1 \right)}}{x} + \frac{3 \left|{2 x + 1}\right|}{x^{2}}\right)}{x^{2}} = 0

Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones

Asíntotas verticales

Hay:

x_{1} = 0

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{2 x + 1}\right|}{x^{2}}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:

y = 0

\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{2 x + 1}\right|}{x^{2}}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:

y = 0

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función |2*x + 1|/x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{2 x + 1}\right|}{x x^{2}}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha

\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{2 x + 1}\right|}{x x^{2}}\right) = 0

Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:

\frac{\left|{2 x + 1}\right|}{x^{2}} = \frac{\left|{2 x - 1}\right|}{x^{2}}

- No

\frac{\left|{2 x + 1}\right|}{x^{2}} = - \frac{\left|{2 x - 1}\right|}{x^{2}}

- No
es decir, función
no es
par ni impar