Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
7-x-2*x^2
-
y=x^3
-
(3*x-4)^40/(x^2-2)^36
-
y=x^2-x
-
Expresiones idénticas
- (x- uno)/(dos x+ uno)(2-x)
- (x menos 1) dividir por (2x más 1)(2 menos x)
- (x menos uno) dividir por (dos x más uno)(2 menos x)
- x-1/2x+12-x
- (x-1) dividir por (2x+1)(2-x)
-
Expresiones semejantes
- (x+1)/(2x+1)(2-x)
- (x-1)/(2x-1)(2-x)
- x-1/(2x+1)(2-x)
- (x-1)/(2x+1)(2+x)
Gráfico de la función y = (x-1)/(2x+1)(2-x)
Solución
Ha introducido
[src]
x - 1
f(x) = -------*(2 - x)
2*x + 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{x - 1}{2 x + 1} \left(2 - x\right)$$
f = ((x - 1)/(2*x + 1))*(2 - x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -0.5$$
$$x_{1} = -0.5$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x - 1}{2 x + 1} \left(2 - x\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x - 1}{2 x + 1} \left(2 - x\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(2 - x\right) \left(- \frac{2 \left(x - 1\right)}{\left(2 x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 x + 1}\right) - \frac{x - 1}{2 x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{15}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{15}}{2} - \frac{1}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{15}}{2} - \frac{1}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{15}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{15}}{2} - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{15}}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{15}}{2} - \frac{1}{2}\right] \cup \left[- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{15}}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(2 - x\right) \left(- \frac{2 \left(x - 1\right)}{\left(2 x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 x + 1}\right) - \frac{x - 1}{2 x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{15}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{15}}{2} - \frac{1}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ ____\ / ____\
____ | 3 \/ 15 | |5 \/ 15 |
____ \/ 15 *|- - + ------|*|- - ------|
1 \/ 15 \ 2 2 / \2 2 /
(- - + ------, ----------------------------------)
2 2 15 / ____\ / ____\
____ | 3 \/ 15 | |5 \/ 15 |
____ -\/ 15 *|- - - ------|*|- + ------|
1 \/ 15 \ 2 2 / \2 2 /
(- - - ------, ------------------------------------)
2 2 15 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{15}}{2} - \frac{1}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{15}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{15}}{2} - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{15}}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{15}}{2} - \frac{1}{2}\right] \cup \left[- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{15}}{2}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{2 \left(x - 2\right) \left(\frac{2 \left(x - 1\right)}{2 x + 1} - 1\right)}{2 x + 1} + \frac{2 \left(x - 1\right)}{2 x + 1} - 1\right)}{2 x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{2 \left(x - 2\right) \left(\frac{2 \left(x - 1\right)}{2 x + 1} - 1\right)}{2 x + 1} + \frac{2 \left(x - 1\right)}{2 x + 1} - 1\right)}{2 x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -0.5$$
$$x_{1} = -0.5$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 1}{2 x + 1} \left(2 - x\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{2 x + 1} \left(2 - x\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 1}{2 x + 1} \left(2 - x\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{2 x + 1} \left(2 - x\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x - 1)/(2*x + 1))*(2 - x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 - x\right) \left(x - 1\right)}{x \left(2 x + 1\right)}\right) = - \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - \frac{x}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 - x\right) \left(x - 1\right)}{x \left(2 x + 1\right)}\right) = - \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - \frac{x}{2}$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 - x\right) \left(x - 1\right)}{x \left(2 x + 1\right)}\right) = - \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - \frac{x}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 - x\right) \left(x - 1\right)}{x \left(2 x + 1\right)}\right) = - \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - \frac{x}{2}$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x - 1}{2 x + 1} \left(2 - x\right) = \frac{\left(- x - 1\right) \left(x + 2\right)}{1 - 2 x}$$
- No
$$\frac{x - 1}{2 x + 1} \left(2 - x\right) = - \frac{\left(- x - 1\right) \left(x + 2\right)}{1 - 2 x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x - 1}{2 x + 1} \left(2 - x\right) = \frac{\left(- x - 1\right) \left(x + 2\right)}{1 - 2 x}$$
- No
$$\frac{x - 1}{2 x + 1} \left(2 - x\right) = - \frac{\left(- x - 1\right) \left(x + 2\right)}{1 - 2 x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico