Gráfico de la función y = (x-1)/(2x+1)(2-x)

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        x - 1         
f(x) = -------*(2 - x)
       2*x + 1

$$f{\left(x \right)} = \frac{x - 1}{2 x + 1} \left(2 - x\right)$$

f = ((x - 1)/(2*x + 1))*(2 - x)

Gráfico de la función

Dominio de definición de la función

Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -0.5$$

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x - 1}{2 x + 1} \left(2 - x\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x - 1)/(2*x + 1))*(2 - x).
$$\left(2 - 0\right) \left(- \frac{1}{0 \cdot 2 + 1}\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -2$$
Punto:

(0, -2)

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(2 - x\right) \left(- \frac{2 \left(x - 1\right)}{\left(2 x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 x + 1}\right) - \frac{x - 1}{2 x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{15}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{15}}{2} - \frac{1}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:

                      /        ____\ /      ____\ 
                 ____ |  3   \/ 15 | |5   \/ 15 | 
         ____  \/ 15 *|- - + ------|*|- - ------| 
   1   \/ 15          \  2     2   / \2     2   / 
(- - + ------, ----------------------------------)
   2     2                     15

                       /        ____\ /      ____\  
                  ____ |  3   \/ 15 | |5   \/ 15 |  
         ____  -\/ 15 *|- - - ------|*|- + ------|  
   1   \/ 15           \  2     2   / \2     2   /  
(- - - ------, ------------------------------------)
   2     2                      15

Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{15}}{2} - \frac{1}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{15}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{15}}{2} - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{15}}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{15}}{2} - \frac{1}{2}\right] \cup \left[- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{15}}{2}, \infty\right)$$

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{2 \left(x - 2\right) \left(\frac{2 \left(x - 1\right)}{2 x + 1} - 1\right)}{2 x + 1} + \frac{2 \left(x - 1\right)}{2 x + 1} - 1\right)}{2 x + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones

Asíntotas verticales

Hay:
$$x_{1} = -0.5$$

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 1}{2 x + 1} \left(2 - x\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{2 x + 1} \left(2 - x\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x - 1)/(2*x + 1))*(2 - x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 - x\right) \left(x - 1\right)}{x \left(2 x + 1\right)}\right) = - \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - \frac{x}{2}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 - x\right) \left(x - 1\right)}{x \left(2 x + 1\right)}\right) = - \frac{1}{2}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - \frac{x}{2}$$

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x - 1}{2 x + 1} \left(2 - x\right) = \frac{\left(- x - 1\right) \left(x + 2\right)}{1 - 2 x}$$
- No
$$\frac{x - 1}{2 x + 1} \left(2 - x\right) = - \frac{\left(- x - 1\right) \left(x + 2\right)}{1 - 2 x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Gráfico de la función y = (x-1)/(2x+1)(2-x)

Gráfico:

Puntos de intersección:

Definida a trozos:

Solución