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y=x²-3^x+2
Trazado el gráfico de la función/ y=x²-3^x+2

Gráfico de la función y = y=x²-3^x+2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2    x    
f(x) = x  - 3  + 2
f(x)=(−3x+x2)+2f{\left(x \right)} = \left(- 3^{x} + x^{2}\right) + 2 
f = -3^x + x^2 + 2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-10000050000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−3x+x2)+2=0\left(- 3^{x} + x^{2}\right) + 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2 - 3^x + 2.
(−30+02)+2\left(- 3^{0} + 0^{2}\right) + 2
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3xlog⁡(3)+2x=0- 3^{x} \log{\left(3 \right)} + 2 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−3xlog⁡(3)2+2=0- 3^{x} \log{\left(3 \right)}^{2} + 2 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2log⁡(log⁡(3))+log⁡(2)log⁡(3)x_{1} = \frac{- 2 \log{\left(\log{\left(3 \right)} \right)} + \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−2log⁡(log⁡(3))+log⁡(2)log⁡(3)]\left(-\infty, \frac{- 2 \log{\left(\log{\left(3 \right)} \right)} + \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}\right]
Convexa en los intervalos
[−2log⁡(log⁡(3))+log⁡(2)log⁡(3),∞)\left[\frac{- 2 \log{\left(\log{\left(3 \right)} \right)} + \log{\left(2 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−3x+x2)+2)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 3^{x} + x^{2}\right) + 2\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−3x+x2)+2)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 3^{x} + x^{2}\right) + 2\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2 - 3^x + 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−3x+x2)+2x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 3^{x} + x^{2}\right) + 2}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((−3x+x2)+2x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 3^{x} + x^{2}\right) + 2}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−3x+x2)+2=x2+2−3−x\left(- 3^{x} + x^{2}\right) + 2 = x^{2} + 2 - 3^{- x}
- No
(−3x+x2)+2=−x2−2+3−x\left(- 3^{x} + x^{2}\right) + 2 = - x^{2} - 2 + 3^{- x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=x²-3^x+2
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