Sr Examen
Gráfico de la función y = e^x-tan(2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
x f(x) = E - tan(2*x)
$$f{\left(x \right)} = e^{x} - \tan{\left(2 x \right)}$$
f = E^x - tan(2*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$e^{x} - \tan{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución numérica
$$x_{1} = -73.8274273593601$$
$$x_{2} = -31.4159265358979$$
$$x_{3} = -21.9911485749878$$
$$x_{4} = -56.5486677646163$$
$$x_{5} = -95.8185759344887$$
$$x_{6} = 0.516421075467358$$
$$x_{7} = -97.3893722612836$$
$$x_{8} = -39.2699081698724$$
$$x_{9} = -9.42473760938248$$
$$x_{10} = -3.11951777392948$$
$$x_{11} = -50.2654824574367$$
$$x_{12} = -36.1283155162826$$
$$x_{13} = -94.2477796076938$$
$$x_{14} = -75.398223686155$$
$$x_{15} = -6.2822507138445$$
$$x_{16} = -53.4070751110265$$
$$x_{17} = -25.1327412287123$$
$$x_{18} = -34.5575191894877$$
$$x_{19} = -86.3937979737193$$
$$x_{20} = -47.1238898038469$$
$$x_{21} = -43.9822971502571$$
$$x_{22} = -7.85378749469587$$
$$x_{23} = -14.1371665786803$$
$$x_{24} = -17.27875957908$$
$$x_{25} = -65.9734457253857$$
$$x_{26} = -61.261056745001$$
$$x_{27} = -58.1194640914112$$
$$x_{28} = -59.6902604182061$$
$$x_{29} = -1.456291415761$$
$$x_{30} = -67.5442420521806$$
$$x_{31} = -20.4203522476568$$
$$x_{32} = -42.4115008234622$$
$$x_{33} = -23.5619449018942$$
$$x_{34} = -91.106186954104$$
$$x_{35} = -89.5353906273091$$
$$x_{36} = -100.530964914873$$
$$x_{37} = -64.4026493985908$$
$$x_{38} = -69.1150383789755$$
$$x_{39} = -29.845130209103$$
$$x_{40} = -12.566368870685$$
$$x_{41} = -45.553093477052$$
$$x_{42} = -28.2743338823079$$
$$x_{43} = -78.5398163397448$$
$$x_{44} = -87.9645943005142$$
$$x_{45} = -83.2522053201295$$
$$x_{46} = -81.6814089933346$$
$$x_{47} = -80.1106126665397$$
$$x_{48} = -37.6991118430775$$
$$x_{49} = -51.8362787842316$$
$$x_{50} = -72.2566310325652$$
$$x_{51} = 2.30655638015269$$
$$x_{52} = -15.7079631925981$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$e^{x} - \tan{\left(2 x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución numérica
$$x_{1} = -73.8274273593601$$
$$x_{2} = -31.4159265358979$$
$$x_{3} = -21.9911485749878$$
$$x_{4} = -56.5486677646163$$
$$x_{5} = -95.8185759344887$$
$$x_{6} = 0.516421075467358$$
$$x_{7} = -97.3893722612836$$
$$x_{8} = -39.2699081698724$$
$$x_{9} = -9.42473760938248$$
$$x_{10} = -3.11951777392948$$
$$x_{11} = -50.2654824574367$$
$$x_{12} = -36.1283155162826$$
$$x_{13} = -94.2477796076938$$
$$x_{14} = -75.398223686155$$
$$x_{15} = -6.2822507138445$$
$$x_{16} = -53.4070751110265$$
$$x_{17} = -25.1327412287123$$
$$x_{18} = -34.5575191894877$$
$$x_{19} = -86.3937979737193$$
$$x_{20} = -47.1238898038469$$
$$x_{21} = -43.9822971502571$$
$$x_{22} = -7.85378749469587$$
$$x_{23} = -14.1371665786803$$
$$x_{24} = -17.27875957908$$
$$x_{25} = -65.9734457253857$$
$$x_{26} = -61.261056745001$$
$$x_{27} = -58.1194640914112$$
$$x_{28} = -59.6902604182061$$
$$x_{29} = -1.456291415761$$
$$x_{30} = -67.5442420521806$$
$$x_{31} = -20.4203522476568$$
$$x_{32} = -42.4115008234622$$
$$x_{33} = -23.5619449018942$$
$$x_{34} = -91.106186954104$$
$$x_{35} = -89.5353906273091$$
$$x_{36} = -100.530964914873$$
$$x_{37} = -64.4026493985908$$
$$x_{38} = -69.1150383789755$$
$$x_{39} = -29.845130209103$$
$$x_{40} = -12.566368870685$$
$$x_{41} = -45.553093477052$$
$$x_{42} = -28.2743338823079$$
$$x_{43} = -78.5398163397448$$
$$x_{44} = -87.9645943005142$$
$$x_{45} = -83.2522053201295$$
$$x_{46} = -81.6814089933346$$
$$x_{47} = -80.1106126665397$$
$$x_{48} = -37.6991118430775$$
$$x_{49} = -51.8362787842316$$
$$x_{50} = -72.2566310325652$$
$$x_{51} = 2.30655638015269$$
$$x_{52} = -15.7079631925981$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$e^{x} - 2 \tan^{2}{\left(2 x \right)} - 2 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2.09690050614401$$
$$x_{2} = 4.02220513115033$$
$$x_{3} = 1.22275288139252$$
$$x_{4} = 3.82158621043255$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 4.02220513115033$$
$$x_{2} = 1.22275288139252$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 2.09690050614401$$
$$x_{2} = 3.82158621043255$$
Decrece en los intervalos
$$\left[1.22275288139252, 2.09690050614401\right] \cup \left[4.02220513115033, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1.22275288139252\right] \cup \left[3.82158621043255, 4.02220513115033\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$e^{x} - 2 \tan^{2}{\left(2 x \right)} - 2 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2.09690050614401$$
$$x_{2} = 4.02220513115033$$
$$x_{3} = 1.22275288139252$$
$$x_{4} = 3.82158621043255$$
Signos de extremos en los puntos:
(2.0969005061440105, 6.38862841833765)
(4.022205131150335, 61.0117506578696)
(1.2227528813925157, 4.23214616444892)
(3.8215862104325486, 41.0034567100193)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 4.02220513115033$$
$$x_{2} = 1.22275288139252$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 2.09690050614401$$
$$x_{2} = 3.82158621043255$$
Decrece en los intervalos
$$\left[1.22275288139252, 2.09690050614401\right] \cup \left[4.02220513115033, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1.22275288139252\right] \cup \left[3.82158621043255, 4.02220513115033\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 8 \left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) \tan{\left(2 x \right)} + e^{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 6.97066176225827$$
$$x_{2} = -53.4070751110265$$
$$x_{3} = -37.6991118430775$$
$$x_{4} = -59.6902604182061$$
$$x_{5} = 0.0652108983337237$$
$$x_{6} = -7.85395737068561$$
$$x_{7} = -3.13888456551694$$
$$x_{8} = -86.3937979737193$$
$$x_{9} = -56.5486677646163$$
$$x_{10} = 5.32855567408474$$
$$x_{11} = -81.6814089933346$$
$$x_{12} = -31.4159265358979$$
$$x_{13} = -64.4026493985908$$
$$x_{14} = -83.2522053201295$$
$$x_{15} = -42.4115008234622$$
$$x_{16} = -87.9645943005142$$
$$x_{17} = -75.398223686155$$
$$x_{18} = -78.5398163397448$$
$$x_{19} = -14.1371668958449$$
$$x_{20} = -67.5442420521806$$
$$x_{21} = -15.7079632585301$$
$$x_{22} = -36.1283155162826$$
$$x_{23} = -80.1106126665397$$
$$x_{24} = 8.58215232858407$$
$$x_{25} = -73.8274273593601$$
$$x_{26} = -17.2787595927859$$
$$x_{27} = -6.28306857839252$$
$$x_{28} = -25.1327412287176$$
$$x_{29} = -39.2699081698724$$
$$x_{30} = -47.1238898038469$$
$$x_{31} = -58.1194640914112$$
$$x_{32} = -28.2743338823081$$
$$x_{33} = -94.2477796076938$$
$$x_{34} = -61.261056745001$$
$$x_{35} = -20.420352248249$$
$$x_{36} = -1.55764398437721$$
$$x_{37} = 1.83508852131233$$
$$x_{38} = -95.8185759344887$$
$$x_{39} = -50.2654824574367$$
$$x_{40} = -51.8362787842316$$
$$x_{41} = -100.530964914873$$
$$x_{42} = -43.9822971502571$$
$$x_{43} = -21.991148575111$$
$$x_{44} = -97.3893722612836$$
$$x_{45} = -12.5663703964002$$
$$x_{46} = -72.2566310325652$$
$$x_{47} = -69.1150383789755$$
$$x_{48} = -29.845130209103$$
$$x_{49} = -45.553093477052$$
$$x_{50} = -9.42477291702409$$
$$x_{51} = -89.5353906273091$$
$$x_{52} = -65.9734457253857$$
$$x_{53} = -91.106186954104$$
$$x_{54} = -34.5575191894877$$
$$x_{55} = -23.5619449019198$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -100.530964914873\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[8.58215232858407, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- 8 \left(\tan^{2}{\left(2 x \right)} + 1\right) \tan{\left(2 x \right)} + e^{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 6.97066176225827$$
$$x_{2} = -53.4070751110265$$
$$x_{3} = -37.6991118430775$$
$$x_{4} = -59.6902604182061$$
$$x_{5} = 0.0652108983337237$$
$$x_{6} = -7.85395737068561$$
$$x_{7} = -3.13888456551694$$
$$x_{8} = -86.3937979737193$$
$$x_{9} = -56.5486677646163$$
$$x_{10} = 5.32855567408474$$
$$x_{11} = -81.6814089933346$$
$$x_{12} = -31.4159265358979$$
$$x_{13} = -64.4026493985908$$
$$x_{14} = -83.2522053201295$$
$$x_{15} = -42.4115008234622$$
$$x_{16} = -87.9645943005142$$
$$x_{17} = -75.398223686155$$
$$x_{18} = -78.5398163397448$$
$$x_{19} = -14.1371668958449$$
$$x_{20} = -67.5442420521806$$
$$x_{21} = -15.7079632585301$$
$$x_{22} = -36.1283155162826$$
$$x_{23} = -80.1106126665397$$
$$x_{24} = 8.58215232858407$$
$$x_{25} = -73.8274273593601$$
$$x_{26} = -17.2787595927859$$
$$x_{27} = -6.28306857839252$$
$$x_{28} = -25.1327412287176$$
$$x_{29} = -39.2699081698724$$
$$x_{30} = -47.1238898038469$$
$$x_{31} = -58.1194640914112$$
$$x_{32} = -28.2743338823081$$
$$x_{33} = -94.2477796076938$$
$$x_{34} = -61.261056745001$$
$$x_{35} = -20.420352248249$$
$$x_{36} = -1.55764398437721$$
$$x_{37} = 1.83508852131233$$
$$x_{38} = -95.8185759344887$$
$$x_{39} = -50.2654824574367$$
$$x_{40} = -51.8362787842316$$
$$x_{41} = -100.530964914873$$
$$x_{42} = -43.9822971502571$$
$$x_{43} = -21.991148575111$$
$$x_{44} = -97.3893722612836$$
$$x_{45} = -12.5663703964002$$
$$x_{46} = -72.2566310325652$$
$$x_{47} = -69.1150383789755$$
$$x_{48} = -29.845130209103$$
$$x_{49} = -45.553093477052$$
$$x_{50} = -9.42477291702409$$
$$x_{51} = -89.5353906273091$$
$$x_{52} = -65.9734457253857$$
$$x_{53} = -91.106186954104$$
$$x_{54} = -34.5575191894877$$
$$x_{55} = -23.5619449019198$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -100.530964914873\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[8.58215232858407, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} - \tan{\left(2 x \right)}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} - \tan{\left(2 x \right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} - \tan{\left(2 x \right)}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} - \tan{\left(2 x \right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función E^x - tan(2*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} - \tan{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} - \tan{\left(2 x \right)}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
True
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} - \tan{\left(2 x \right)}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} - \tan{\left(2 x \right)}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$e^{x} - \tan{\left(2 x \right)} = \tan{\left(2 x \right)} + e^{- x}$$
- No
$$e^{x} - \tan{\left(2 x \right)} = - \tan{\left(2 x \right)} - e^{- x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$e^{x} - \tan{\left(2 x \right)} = \tan{\left(2 x \right)} + e^{- x}$$
- No
$$e^{x} - \tan{\left(2 x \right)} = - \tan{\left(2 x \right)} - e^{- x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar