Sr Examen
Gráfico de la función y = 5/(4^(2/(x+3)))
Solución
Ha introducido
[src]
5
f(x) = ------
2
-----
x + 3
4
$$f{\left(x \right)} = \frac{5}{4^{\frac{2}{x + 3}}}$$
f = 5/4^(2/(x + 3))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{1} = -3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{5}{4^{\frac{2}{x + 3}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{5}{4^{\frac{2}{x + 3}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{10 \cdot 4^{- \frac{2}{x + 3}} \log{\left(4 \right)}}{\left(x + 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{10 \cdot 4^{- \frac{2}{x + 3}} \log{\left(4 \right)}}{\left(x + 3\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{20 \cdot 4^{- \frac{2}{x + 3}} \left(1 - \frac{\log{\left(4 \right)}}{x + 3}\right) \log{\left(4 \right)}}{\left(x + 3\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3 + \log{\left(4 \right)}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -3$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(- \frac{20 \cdot 4^{- \frac{2}{x + 3}} \left(1 - \frac{\log{\left(4 \right)}}{x + 3}\right) \log{\left(4 \right)}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -3^+}\left(- \frac{20 \cdot 4^{- \frac{2}{x + 3}} \left(1 - \frac{\log{\left(4 \right)}}{x + 3}\right) \log{\left(4 \right)}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right) = 0$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -3 + \log{\left(4 \right)}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-3 + \log{\left(4 \right)}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{20 \cdot 4^{- \frac{2}{x + 3}} \left(1 - \frac{\log{\left(4 \right)}}{x + 3}\right) \log{\left(4 \right)}}{\left(x + 3\right)^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3 + \log{\left(4 \right)}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -3$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(- \frac{20 \cdot 4^{- \frac{2}{x + 3}} \left(1 - \frac{\log{\left(4 \right)}}{x + 3}\right) \log{\left(4 \right)}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -3^+}\left(- \frac{20 \cdot 4^{- \frac{2}{x + 3}} \left(1 - \frac{\log{\left(4 \right)}}{x + 3}\right) \log{\left(4 \right)}}{\left(x + 3\right)^{3}}\right) = 0$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, -3 + \log{\left(4 \right)}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[-3 + \log{\left(4 \right)}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{1} = -3$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5}{4^{\frac{2}{x + 3}}}\right) = 5$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 5$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5}{4^{\frac{2}{x + 3}}}\right) = 5$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 5$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5}{4^{\frac{2}{x + 3}}}\right) = 5$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 5$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5}{4^{\frac{2}{x + 3}}}\right) = 5$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 5$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 5/4^(2/(x + 3)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 \cdot 4^{- \frac{2}{x + 3}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 \cdot 4^{- \frac{2}{x + 3}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{5 \cdot 4^{- \frac{2}{x + 3}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{5 \cdot 4^{- \frac{2}{x + 3}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{5}{4^{\frac{2}{x + 3}}} = 5 \cdot 4^{- \frac{2}{3 - x}}$$
- No
$$\frac{5}{4^{\frac{2}{x + 3}}} = - 5 \cdot 4^{- \frac{2}{3 - x}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{5}{4^{\frac{2}{x + 3}}} = 5 \cdot 4^{- \frac{2}{3 - x}}$$
- No
$$\frac{5}{4^{\frac{2}{x + 3}}} = - 5 \cdot 4^{- \frac{2}{3 - x}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar