Sr Examen

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exp(-x)+exp(4*x)
Trazado el gráfico de la función/ exp(-x)+exp(4*x)

Gráfico de la función y = exp(-x)+exp(4*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        -x    4*x
f(x) = e   + e
$$f{\left(x \right)} = e^{4 x} + e^{- x}$$ 
f = exp(4*x) + exp(-x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$e^{4 x} + e^{- x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en exp(-x) + exp(4*x).
$$e^{- 0} + e^{0 \cdot 4}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 2$$
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \log{\left(\frac{2^{\frac{3}{5}}}{2} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
    / 3/5\     2/5 
    |2   |  5*2    
(log|----|, ------)
    \ 2  /    4


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \log{\left(\frac{2^{\frac{3}{5}}}{2} \right)}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\log{\left(\frac{2^{\frac{3}{5}}}{2} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \log{\left(\frac{2^{\frac{3}{5}}}{2} \right)}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$16 e^{4 x} + e^{- x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{4 x} + e^{- x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{4 x} + e^{- x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función exp(-x) + exp(4*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{4 x} + e^{- x}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{4 x} + e^{- x}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$e^{4 x} + e^{- x} = e^{x} + e^{- 4 x}$$
- No
$$e^{4 x} + e^{- x} = - e^{x} - e^{- 4 x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = exp(-x)+exp(4*x)
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