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Trazado el gráfico de la función/ (2x^2-15x+18+sqrt(x-3))/(sqrt(x-3)(x-6))

Gráfico de la función y = (2x^2-15x+18+sqrt(x-3))/(sqrt(x-3)(x-6))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2                 _______
       2*x  - 15*x + 18 + \/ x - 3 
f(x) = ----------------------------
              _______              
            \/ x - 3 *(x - 6)
f(x)=x−3+((2x2−15x)+18)(x−6)x−3f{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{x - 3} + \left(\left(2 x^{2} - 15 x\right) + 18\right)}{\left(x - 6\right) \sqrt{x - 3}} 
f = (sqrt(x - 3) + 2*x^2 - 15*x + 18)/(((x - 6)*sqrt(x - 3)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=3x_{1} = 3
x2=6x_{2} = 6
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x−3+((2x2−15x)+18)(x−6)x−3=0\frac{\sqrt{x - 3} + \left(\left(2 x^{2} - 15 x\right) + 18\right)}{\left(x - 6\right) \sqrt{x - 3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−−217351256+195235123−7253217351256+195235123+127253217351256+195235123+274+217351256+195235123+2722+7253217351256+195235123+274+217351256+1952351232+154x_{1} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{17351}}{256} + \frac{19523}{512}} - \frac{725}{32 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{17351}}{256} + \frac{19523}{512}}} + \frac{1}{2 \sqrt{\frac{725}{32 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{17351}}{256} + \frac{19523}{512}}} + \frac{27}{4} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{17351}}{256} + \frac{19523}{512}}}} + \frac{27}{2}}}{2} + \frac{\sqrt{\frac{725}{32 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{17351}}{256} + \frac{19523}{512}}} + \frac{27}{4} + 2 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{17351}}{256} + \frac{19523}{512}}}}{2} + \frac{15}{4}
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (2*x^2 - 15*x + 18 + sqrt(x - 3))/((sqrt(x - 3)*(x - 6))).
((2⋅02−0)+18)+−3(−6)−3\frac{\left(\left(2 \cdot 0^{2} - 0\right) + 18\right) + \sqrt{-3}}{\left(-6\right) \sqrt{-3}}
Resultado:
f(0)=3i(18+3i)18f{\left(0 \right)} = \frac{\sqrt{3} i \left(18 + \sqrt{3} i\right)}{18}
Punto:
(0, i*sqrt(3)*(18 + i*sqrt(3))/18)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=3x_{1} = 3
x2=6x_{2} = 6
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x−3+((2x2−15x)+18)(x−6)x−3)=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x - 3} + \left(\left(2 x^{2} - 15 x\right) + 18\right)}{\left(x - 6\right) \sqrt{x - 3}}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x−3+((2x2−15x)+18)(x−6)x−3)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x - 3} + \left(\left(2 x^{2} - 15 x\right) + 18\right)}{\left(x - 6\right) \sqrt{x - 3}}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*x^2 - 15*x + 18 + sqrt(x - 3))/((sqrt(x - 3)*(x - 6))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1(x−6)x−3(x−3+((2x2−15x)+18))x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 6\right) \sqrt{x - 3}} \left(\sqrt{x - 3} + \left(\left(2 x^{2} - 15 x\right) + 18\right)\right)}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1(x−6)x−3(x−3+((2x2−15x)+18))x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 6\right) \sqrt{x - 3}} \left(\sqrt{x - 3} + \left(\left(2 x^{2} - 15 x\right) + 18\right)\right)}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x−3+((2x2−15x)+18)(x−6)x−3=2x2+15x+−x−3+18(−x−6)−x−3\frac{\sqrt{x - 3} + \left(\left(2 x^{2} - 15 x\right) + 18\right)}{\left(x - 6\right) \sqrt{x - 3}} = \frac{2 x^{2} + 15 x + \sqrt{- x - 3} + 18}{\left(- x - 6\right) \sqrt{- x - 3}}
- No
x−3+((2x2−15x)+18)(x−6)x−3=−2x2+15x+−x−3+18(−x−6)−x−3\frac{\sqrt{x - 3} + \left(\left(2 x^{2} - 15 x\right) + 18\right)}{\left(x - 6\right) \sqrt{x - 3}} = - \frac{2 x^{2} + 15 x + \sqrt{- x - 3} + 18}{\left(- x - 6\right) \sqrt{- x - 3}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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