Gráfico de la función y = log3((9x-1)/(x+2))

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          /9*x - 1\
       log|-------|
          \ x + 2 /
f(x) = ------------
          log(3)

$$f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(\frac{9 x - 1}{x + 2} \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$

f = log((9*x - 1)/(x + 2))/log(3)

Gráfico de la función

Dominio de definición de la función

Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -2$$

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\log{\left(\frac{9 x - 1}{x + 2} \right)}}{\log{\left(3 \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = \frac{3}{8}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.375$$

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log((9*x - 1)/(x + 2))/log(3).
$$\frac{\log{\left(\frac{-1 + 0 \cdot 9}{2} \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \frac{- \log{\left(2 \right)} + i \pi}{\log{\left(3 \right)}}$$
Punto:

(0, (-log(2) + pi*i)/log(3))

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(x + 2\right) \left(\frac{9}{x + 2} - \frac{9 x - 1}{\left(x + 2\right)^{2}}\right)}{\left(9 x - 1\right) \log{\left(3 \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{\left(9 - \frac{9 x - 1}{x + 2}\right) \left(\frac{9}{9 x - 1} + \frac{1}{x + 2}\right)}{\left(9 x - 1\right) \log{\left(3 \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{17}{18}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$

$$\lim_{x \to -2^-}\left(- \frac{\left(9 - \frac{9 x - 1}{x + 2}\right) \left(\frac{9}{9 x - 1} + \frac{1}{x + 2}\right)}{\left(9 x - 1\right) \log{\left(3 \right)}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(- \frac{\left(9 - \frac{9 x - 1}{x + 2}\right) \left(\frac{9}{9 x - 1} + \frac{1}{x + 2}\right)}{\left(9 x - 1\right) \log{\left(3 \right)}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{17}{18}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{17}{18}, \infty\right)$$

Asíntotas verticales

Hay:
$$x_{1} = -2$$

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{9 x - 1}{x + 2} \right)}}{\log{\left(3 \right)}}\right) = 2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 2$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{9 x - 1}{x + 2} \right)}}{\log{\left(3 \right)}}\right) = 2$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 2$$

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log((9*x - 1)/(x + 2))/log(3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{9 x - 1}{x + 2} \right)}}{x \log{\left(3 \right)}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(\frac{9 x - 1}{x + 2} \right)}}{x \log{\left(3 \right)}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\log{\left(\frac{9 x - 1}{x + 2} \right)}}{\log{\left(3 \right)}} = \frac{\log{\left(\frac{- 9 x - 1}{2 - x} \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$
- No
$$\frac{\log{\left(\frac{9 x - 1}{x + 2} \right)}}{\log{\left(3 \right)}} = - \frac{\log{\left(\frac{- 9 x - 1}{2 - x} \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Gráfico de la función y = log3((9x-1)/(x+2))

Gráfico:

Puntos de intersección:

Definida a trozos:

Solución