Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^2*e^((-1)/x)
-
x^2*e^(2-x)
-
x+27/x^3
-
(x^2-8)/(x-3)
-
Expresiones idénticas
- -(x- cuatro)*(tres *x^ dos - dos 4x+ cuarenta y tres)/(x^2- ocho *x+ catorce)
- menos (x menos 4) multiplicar por (3 multiplicar por x al cuadrado menos 24x más 43) dividir por (x al cuadrado menos 8 multiplicar por x más 14)
- menos (x menos cuatro) multiplicar por (tres multiplicar por x en el grado dos menos dos 4x más cuarenta y tres) dividir por (x al cuadrado menos ocho multiplicar por x más cotangente de angente de orce)
- -(x-4)*(3*x2-24x+43)/(x2-8*x+14)
- -x-4*3*x2-24x+43/x2-8*x+14
- -(x-4)*(3*x²-24x+43)/(x²-8*x+14)
- -(x-4)*(3*x en el grado 2-24x+43)/(x en el grado 2-8*x+14)
- -(x-4)(3x^2-24x+43)/(x^2-8x+14)
- -(x-4)(3x2-24x+43)/(x2-8x+14)
- -x-43x2-24x+43/x2-8x+14
- -x-43x^2-24x+43/x^2-8x+14
- -(x-4)*(3*x^2-24x+43) dividir por (x^2-8*x+14)
-
Expresiones semejantes
- -(x-4)*(3*x^2-24x+43)/(x^2+8*x+14)
- -(x+4)*(3*x^2-24x+43)/(x^2-8*x+14)
- -(x-4)*(3*x^2-24x+43)/(x^2-8*x-14)
- (x-4)*(3*x^2-24x+43)/(x^2-8*x+14)
- -(x-4)*(3*x^2-24x-43)/(x^2-8*x+14)
- -(x-4)*(3*x^2+24x+43)/(x^2-8*x+14)
Gráfico de la función y = -(x-4)*(3*x^2-24x+43)/(x^2-8*x+14)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
(-x + 4)*\3*x - 24*x + 43/
f(x) = ---------------------------
2
x - 8*x + 14
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(4 - x\right) \left(\left(3 x^{2} - 24 x\right) + 43\right)}{\left(x^{2} - 8 x\right) + 14}$$
f = ((4 - x)*(3*x^2 - 24*x + 43))/(x^2 - 8*x + 14)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 2.58578643762691$$
$$x_{2} = 5.41421356237309$$
$$x_{1} = 2.58578643762691$$
$$x_{2} = 5.41421356237309$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(4 - x\right) \left(\left(3 x^{2} - 24 x\right) + 43\right)}{\left(x^{2} - 8 x\right) + 14} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 4 - \frac{\sqrt{15}}{3}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{15}}{3} + 4$$
Solución numérica
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 2.70900555126419$$
$$x_{3} = 5.29099444873581$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(4 - x\right) \left(\left(3 x^{2} - 24 x\right) + 43\right)}{\left(x^{2} - 8 x\right) + 14} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 4 - \frac{\sqrt{15}}{3}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{15}}{3} + 4$$
Solución numérica
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 2.70900555126419$$
$$x_{3} = 5.29099444873581$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(4 - x\right) \left(8 - 2 x\right) \left(\left(3 x^{2} - 24 x\right) + 43\right)}{\left(\left(x^{2} - 8 x\right) + 14\right)^{2}} + \frac{- 3 x^{2} + 24 x + \left(4 - x\right) \left(6 x - 24\right) - 43}{\left(x^{2} - 8 x\right) + 14} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 5$$
$$x_{3} = 4 - \frac{\sqrt{30}}{3}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{30}}{3} + 4$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 4 - \frac{\sqrt{30}}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 3$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{30}}{3} + 4$$
Decrece en los intervalos
$$\left[4 - \frac{\sqrt{30}}{3}, 3\right] \cup \left[5, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 4 - \frac{\sqrt{30}}{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(4 - x\right) \left(8 - 2 x\right) \left(\left(3 x^{2} - 24 x\right) + 43\right)}{\left(\left(x^{2} - 8 x\right) + 14\right)^{2}} + \frac{- 3 x^{2} + 24 x + \left(4 - x\right) \left(6 x - 24\right) - 43}{\left(x^{2} - 8 x\right) + 14} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = 5$$
$$x_{3} = 4 - \frac{\sqrt{30}}{3}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{30}}{3} + 4$$
Signos de extremos en los puntos:
(3, 2)
(5, -2)
/ 2 \
| / ____\ |
____ | | \/ 30 | ____|
____ \/ 30 *|-53 + 3*|4 - ------| + 8*\/ 30 |
\/ 30 \ \ 3 / /
(4 - ------, -----------------------------------------)
3 / 2 \
| / ____\ ____|
| | \/ 30 | 8*\/ 30 |
3*|-18 + |4 - ------| + --------|
\ \ 3 / 3 / / 2\
| / ____\ |
____ | ____ | \/ 30 | |
____ -\/ 30 *|-53 - 8*\/ 30 + 3*|4 + ------| |
\/ 30 \ \ 3 / /
(4 + ------, -------------------------------------------)
3 / 2 \
| / ____\ ____|
| | \/ 30 | 8*\/ 30 |
3*|-18 + |4 + ------| - --------|
\ \ 3 / 3 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 5$$
$$x_{2} = 4 - \frac{\sqrt{30}}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 3$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{30}}{3} + 4$$
Decrece en los intervalos
$$\left[4 - \frac{\sqrt{30}}{3}, 3\right] \cup \left[5, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 4 - \frac{\sqrt{30}}{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(x - 4\right) \left(- \frac{\left(3 x \left(x - 8\right) + 43\right) \left(\frac{4 \left(x - 4\right)^{2}}{x^{2} - 8 x + 14} - 1\right)}{x^{2} - 8 x + 14} - 9 + \frac{2 \left(3 x^{2} - 24 x + 6 \left(x - 4\right)^{2} + 43\right)}{x^{2} - 8 x + 14}\right)}{x^{2} - 8 x + 14} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 4$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 2.58578643762691$$
$$x_{2} = 5.41421356237309$$
$$\lim_{x \to 2.58578643762691^-}\left(\frac{2 \left(x - 4\right) \left(- \frac{\left(3 x \left(x - 8\right) + 43\right) \left(\frac{4 \left(x - 4\right)^{2}}{x^{2} - 8 x + 14} - 1\right)}{x^{2} - 8 x + 14} - 9 + \frac{2 \left(3 x^{2} - 24 x + 6 \left(x - 4\right)^{2} + 43\right)}{x^{2} - 8 x + 14}\right)}{x^{2} - 8 x + 14}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2.58578643762691^+}\left(\frac{2 \left(x - 4\right) \left(- \frac{\left(3 x \left(x - 8\right) + 43\right) \left(\frac{4 \left(x - 4\right)^{2}}{x^{2} - 8 x + 14} - 1\right)}{x^{2} - 8 x + 14} - 9 + \frac{2 \left(3 x^{2} - 24 x + 6 \left(x - 4\right)^{2} + 43\right)}{x^{2} - 8 x + 14}\right)}{x^{2} - 8 x + 14}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 2.58578643762691$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 5.41421356237309^-}\left(\frac{2 \left(x - 4\right) \left(- \frac{\left(3 x \left(x - 8\right) + 43\right) \left(\frac{4 \left(x - 4\right)^{2}}{x^{2} - 8 x + 14} - 1\right)}{x^{2} - 8 x + 14} - 9 + \frac{2 \left(3 x^{2} - 24 x + 6 \left(x - 4\right)^{2} + 43\right)}{x^{2} - 8 x + 14}\right)}{x^{2} - 8 x + 14}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 5.41421356237309^+}\left(\frac{2 \left(x - 4\right) \left(- \frac{\left(3 x \left(x - 8\right) + 43\right) \left(\frac{4 \left(x - 4\right)^{2}}{x^{2} - 8 x + 14} - 1\right)}{x^{2} - 8 x + 14} - 9 + \frac{2 \left(3 x^{2} - 24 x + 6 \left(x - 4\right)^{2} + 43\right)}{x^{2} - 8 x + 14}\right)}{x^{2} - 8 x + 14}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 5.41421356237309$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[4, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 4\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(x - 4\right) \left(- \frac{\left(3 x \left(x - 8\right) + 43\right) \left(\frac{4 \left(x - 4\right)^{2}}{x^{2} - 8 x + 14} - 1\right)}{x^{2} - 8 x + 14} - 9 + \frac{2 \left(3 x^{2} - 24 x + 6 \left(x - 4\right)^{2} + 43\right)}{x^{2} - 8 x + 14}\right)}{x^{2} - 8 x + 14} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 4$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 2.58578643762691$$
$$x_{2} = 5.41421356237309$$
$$\lim_{x \to 2.58578643762691^-}\left(\frac{2 \left(x - 4\right) \left(- \frac{\left(3 x \left(x - 8\right) + 43\right) \left(\frac{4 \left(x - 4\right)^{2}}{x^{2} - 8 x + 14} - 1\right)}{x^{2} - 8 x + 14} - 9 + \frac{2 \left(3 x^{2} - 24 x + 6 \left(x - 4\right)^{2} + 43\right)}{x^{2} - 8 x + 14}\right)}{x^{2} - 8 x + 14}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2.58578643762691^+}\left(\frac{2 \left(x - 4\right) \left(- \frac{\left(3 x \left(x - 8\right) + 43\right) \left(\frac{4 \left(x - 4\right)^{2}}{x^{2} - 8 x + 14} - 1\right)}{x^{2} - 8 x + 14} - 9 + \frac{2 \left(3 x^{2} - 24 x + 6 \left(x - 4\right)^{2} + 43\right)}{x^{2} - 8 x + 14}\right)}{x^{2} - 8 x + 14}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 2.58578643762691$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 5.41421356237309^-}\left(\frac{2 \left(x - 4\right) \left(- \frac{\left(3 x \left(x - 8\right) + 43\right) \left(\frac{4 \left(x - 4\right)^{2}}{x^{2} - 8 x + 14} - 1\right)}{x^{2} - 8 x + 14} - 9 + \frac{2 \left(3 x^{2} - 24 x + 6 \left(x - 4\right)^{2} + 43\right)}{x^{2} - 8 x + 14}\right)}{x^{2} - 8 x + 14}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 5.41421356237309^+}\left(\frac{2 \left(x - 4\right) \left(- \frac{\left(3 x \left(x - 8\right) + 43\right) \left(\frac{4 \left(x - 4\right)^{2}}{x^{2} - 8 x + 14} - 1\right)}{x^{2} - 8 x + 14} - 9 + \frac{2 \left(3 x^{2} - 24 x + 6 \left(x - 4\right)^{2} + 43\right)}{x^{2} - 8 x + 14}\right)}{x^{2} - 8 x + 14}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 5.41421356237309$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[4, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 4\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 2.58578643762691$$
$$x_{2} = 5.41421356237309$$
$$x_{1} = 2.58578643762691$$
$$x_{2} = 5.41421356237309$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(4 - x\right) \left(\left(3 x^{2} - 24 x\right) + 43\right)}{\left(x^{2} - 8 x\right) + 14}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(4 - x\right) \left(\left(3 x^{2} - 24 x\right) + 43\right)}{\left(x^{2} - 8 x\right) + 14}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(4 - x\right) \left(\left(3 x^{2} - 24 x\right) + 43\right)}{\left(x^{2} - 8 x\right) + 14}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(4 - x\right) \left(\left(3 x^{2} - 24 x\right) + 43\right)}{\left(x^{2} - 8 x\right) + 14}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((-x + 4)*(3*x^2 - 24*x + 43))/(x^2 - 8*x + 14), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(4 - x\right) \left(\left(3 x^{2} - 24 x\right) + 43\right)}{x \left(\left(x^{2} - 8 x\right) + 14\right)}\right) = -3$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - 3 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(4 - x\right) \left(\left(3 x^{2} - 24 x\right) + 43\right)}{x \left(\left(x^{2} - 8 x\right) + 14\right)}\right) = -3$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - 3 x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(4 - x\right) \left(\left(3 x^{2} - 24 x\right) + 43\right)}{x \left(\left(x^{2} - 8 x\right) + 14\right)}\right) = -3$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - 3 x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(4 - x\right) \left(\left(3 x^{2} - 24 x\right) + 43\right)}{x \left(\left(x^{2} - 8 x\right) + 14\right)}\right) = -3$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - 3 x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(4 - x\right) \left(\left(3 x^{2} - 24 x\right) + 43\right)}{\left(x^{2} - 8 x\right) + 14} = \frac{\left(x + 4\right) \left(3 x^{2} + 24 x + 43\right)}{x^{2} + 8 x + 14}$$
- No
$$\frac{\left(4 - x\right) \left(\left(3 x^{2} - 24 x\right) + 43\right)}{\left(x^{2} - 8 x\right) + 14} = - \frac{\left(x + 4\right) \left(3 x^{2} + 24 x + 43\right)}{x^{2} + 8 x + 14}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(4 - x\right) \left(\left(3 x^{2} - 24 x\right) + 43\right)}{\left(x^{2} - 8 x\right) + 14} = \frac{\left(x + 4\right) \left(3 x^{2} + 24 x + 43\right)}{x^{2} + 8 x + 14}$$
- No
$$\frac{\left(4 - x\right) \left(\left(3 x^{2} - 24 x\right) + 43\right)}{\left(x^{2} - 8 x\right) + 14} = - \frac{\left(x + 4\right) \left(3 x^{2} + 24 x + 43\right)}{x^{2} + 8 x + 14}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico