Sr Examen

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Gráfico de la función y = (27/4)*(x³-x²)-4

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          / 3    2\    
       27*\x  - x /    
f(x) = ------------ - 4
            4          
$$f{\left(x \right)} = \frac{27 \left(x^{3} - x^{2}\right)}{4} - 4$$
f = 27*(x^3 - x^2)/4 - 4
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{27 \left(x^{3} - x^{2}\right)}{4} - 4 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = \frac{4}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1.33333333333333$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 27*(x^3 - x^2)/4 - 4.
$$-4 + \frac{27 \left(0^{3} - 0^{2}\right)}{4}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -4$$
Punto:
(0, -4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{81 x^{2}}{4} - \frac{27 x}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{2}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, -4)

(2/3, -5)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{2}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{2}{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, \frac{2}{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{27 \left(3 x - 1\right)}{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{3}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{1}{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{3}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{27 \left(x^{3} - x^{2}\right)}{4} - 4\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{27 \left(x^{3} - x^{2}\right)}{4} - 4\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 27*(x^3 - x^2)/4 - 4, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{27 \left(x^{3} - x^{2}\right)}{4} - 4}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{27 \left(x^{3} - x^{2}\right)}{4} - 4}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{27 \left(x^{3} - x^{2}\right)}{4} - 4 = - \frac{27 x^{3}}{4} - \frac{27 x^{2}}{4} - 4$$
- No
$$\frac{27 \left(x^{3} - x^{2}\right)}{4} - 4 = \frac{27 x^{3}}{4} + \frac{27 x^{2}}{4} + 4$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar