Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (4x^2-4x+9)/(x-1)

Gráfico de la función y = (4x^2-4x+9)/(x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          2          
       4*x  - 4*x + 9
f(x) = --------------
           x - 1
f(x)=(4x2−4x)+9x−1f{\left(x \right)} = \frac{\left(4 x^{2} - 4 x\right) + 9}{x - 1} 
f = (4*x^2 - 4*x + 9)/(x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-500500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(4x2−4x)+9x−1=0\frac{\left(4 x^{2} - 4 x\right) + 9}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (4*x^2 - 4*x + 9)/(x - 1).
(4⋅02−0)+9−1\frac{\left(4 \cdot 0^{2} - 0\right) + 9}{-1}
Resultado:
f(0)=−9f{\left(0 \right)} = -9
Punto:
(0, -9)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
8x−4x−1−(4x2−4x)+9(x−1)2=0\frac{8 x - 4}{x - 1} - \frac{\left(4 x^{2} - 4 x\right) + 9}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
x2=52x_{2} = \frac{5}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(-1/2, -8)

(5/2, 16)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=52x_{1} = \frac{5}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−12]∪[52,∞)\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right] \cup \left[\frac{5}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−12,52]\left[- \frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(4−4(2x−1)x−1+4x(x−1)+9(x−1)2)x−1=0\frac{2 \left(4 - \frac{4 \left(2 x - 1\right)}{x - 1} + \frac{4 x \left(x - 1\right) + 9}{\left(x - 1\right)^{2}}\right)}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((4x2−4x)+9x−1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} - 4 x\right) + 9}{x - 1}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((4x2−4x)+9x−1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} - 4 x\right) + 9}{x - 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (4*x^2 - 4*x + 9)/(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((4x2−4x)+9x(x−1))=4\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} - 4 x\right) + 9}{x \left(x - 1\right)}\right) = 4
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=4xy = 4 x
lim⁡x→∞((4x2−4x)+9x(x−1))=4\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(4 x^{2} - 4 x\right) + 9}{x \left(x - 1\right)}\right) = 4
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=4xy = 4 x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(4x2−4x)+9x−1=4x2+4x+9−x−1\frac{\left(4 x^{2} - 4 x\right) + 9}{x - 1} = \frac{4 x^{2} + 4 x + 9}{- x - 1}
- No
(4x2−4x)+9x−1=−4x2+4x+9−x−1\frac{\left(4 x^{2} - 4 x\right) + 9}{x - 1} = - \frac{4 x^{2} + 4 x + 9}{- x - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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