Puntos en los que la función no está definida exactamente: x1=−1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0 o sea hay que resolver la ecuación: x+1(4x2−4x)+9=0 Resolvermos esta ecuación Solución no hallada, puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0: sustituimos x = 0 en (4*x^2 - 4*x + 9)/(x + 1). 1(4⋅02−0)+9 Resultado: f(0)=9 Punto:
(0, 9)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación dxdf(x)=0 (la derivada es igual a cero), y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función: dxdf(x)= primera derivada x+18x−4−(x+1)2(4x2−4x)+9=0 Resolvermos esta ecuación Raíces de esta ecuación x1=−1+217 x2=−217−1 Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función: Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo: Puntos mínimos de la función: x1=−1+217 Puntos máximos de la función: x1=−217−1 Decrece en los intervalos (−∞,−217−1]∪[−1+217,∞) Crece en los intervalos [−217−1,−1+217]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación dx2d2f(x)=0 (la segunda derivada es igual a cero), las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado: dx2d2f(x)= segunda derivada x+12(4−x+14(2x−1)+(x+1)24x(x−1)+9)=0 Resolvermos esta ecuación Soluciones no halladas, tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay: x1=−1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo x→−∞lim(x+1(4x2−4x)+9)=−∞ Tomamos como el límite es decir, no hay asíntota horizontal a la izquierda x→∞lim(x+1(4x2−4x)+9)=∞ Tomamos como el límite es decir, no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (4*x^2 - 4*x + 9)/(x + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo x→−∞lim(x(x+1)(4x2−4x)+9)=4 Tomamos como el límite es decir, ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda: y=4x x→∞lim(x(x+1)(4x2−4x)+9)=4 Tomamos como el límite es decir, ecuación de la asíntota inclinada a la derecha: y=4x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x). Pues, comprobamos: x+1(4x2−4x)+9=1−x4x2+4x+9 - No x+1(4x2−4x)+9=−1−x4x2+4x+9 - No es decir, función no es par ni impar