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(x^2+1)/x^2
Trazado el gráfico de la función/ (x^2+1)/x^2

Gráfico de la función y = (x^2+1)/x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2    
       x  + 1
f(x) = ------
          2  
         x
f(x)=x2+1x2f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} 
f = (x^2 + 1)/x^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100500
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2+1x2=0\frac{x^{2} + 1}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 + 1)/x^2.
02+102\frac{0^{2} + 1}{0^{2}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2xx2−2(x2+1)x3=0\frac{2 x}{x^{2}} - \frac{2 \left(x^{2} + 1\right)}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(−1+x2+1x2)x2=0\frac{6 \left(-1 + \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right)}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2+1x2)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞(x2+1x2)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 + 1)/x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2+1xx2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x2+1xx2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 1}{x x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2+1x2=x2+1x2\frac{x^{2} + 1}{x^{2}} = \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}
- Sí
x2+1x2=−x2+1x2\frac{x^{2} + 1}{x^{2}} = - \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = (x^2+1)/x^2
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