Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3+3*x^2+2
-
x*(-1-log(x))
-
e^3*x+10*e^2*x
-
-cos(2*x)-sin(2*x)
-
Expresiones idénticas
- (x^ tres -x^ dos + uno)/(x^ dos - uno)
- (x al cubo menos x al cuadrado más 1) dividir por (x al cuadrado menos 1)
- (x en el grado tres menos x en el grado dos más uno) dividir por (x en el grado dos menos uno)
- (x3-x2+1)/(x2-1)
- x3-x2+1/x2-1
- (x³-x²+1)/(x²-1)
- (x en el grado 3-x en el grado 2+1)/(x en el grado 2-1)
- x^3-x^2+1/x^2-1
- (x^3-x^2+1) dividir por (x^2-1)
-
Expresiones semejantes
- (x^3-x^2+1)/(x^2+1)
- (x^3-x^2-1)/(x^2-1)
- (x^3+x^2+1)/(x^2-1)
Gráfico de la función y = (x^3-x^2+1)/(x^2-1)
Solución
Ha introducido
[src]
3 2
x - x + 1
f(x) = -----------
2
x - 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{3} - x^{2}\right) + 1}{x^{2} - 1}$$
f = (x^3 - x^2 + 1)/(x^2 - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x^{3} - x^{2}\right) + 1}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{69}}{2} + \frac{25}{2}}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{69}}{2} + \frac{25}{2}}} + \frac{1}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.754877666246693$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x^{3} - x^{2}\right) + 1}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{69}}{2} + \frac{25}{2}}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{3 \sqrt{69}}{2} + \frac{25}{2}}} + \frac{1}{3}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.754877666246693$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(\left(x^{3} - x^{2}\right) + 1\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{3 x^{2} - 2 x}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = \sqrt{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \sqrt{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{3}\right] \cup \left[\sqrt{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{3}, \sqrt{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(\left(x^{3} - x^{2}\right) + 1\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{3 x^{2} - 2 x}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = \sqrt{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, -1)
___
___ 3*\/ 3
(-\/ 3, -1 - -------)
2 ___
___ 3*\/ 3
(\/ 3, -1 + -------)
2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \sqrt{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{3}\right] \cup \left[\sqrt{3}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{3}, \sqrt{3}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{2 x^{2} \left(3 x - 2\right)}{x^{2} - 1} + 3 x - 1 + \frac{\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(x^{3} - x^{2} + 1\right)}{x^{2} - 1}\right)}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{2 x^{2} \left(3 x - 2\right)}{x^{2} - 1} + 3 x - 1 + \frac{\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(x^{3} - x^{2} + 1\right)}{x^{2} - 1}\right)}{x^{2} - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{2 x^{2} \left(3 x - 2\right)}{x^{2} - 1} + 3 x - 1 + \frac{\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(x^{3} - x^{2} + 1\right)}{x^{2} - 1}\right)}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{2 x^{2} \left(3 x - 2\right)}{x^{2} - 1} + 3 x - 1 + \frac{\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(x^{3} - x^{2} + 1\right)}{x^{2} - 1}\right)}{x^{2} - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{2 x^{2} \left(3 x - 2\right)}{x^{2} - 1} + 3 x - 1 + \frac{\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(x^{3} - x^{2} + 1\right)}{x^{2} - 1}\right)}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{2 x^{2} \left(3 x - 2\right)}{x^{2} - 1} + 3 x - 1 + \frac{\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(x^{3} - x^{2} + 1\right)}{x^{2} - 1}\right)}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{2 x^{2} \left(3 x - 2\right)}{x^{2} - 1} + 3 x - 1 + \frac{\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(x^{3} - x^{2} + 1\right)}{x^{2} - 1}\right)}{x^{2} - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{2 x^{2} \left(3 x - 2\right)}{x^{2} - 1} + 3 x - 1 + \frac{\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(x^{3} - x^{2} + 1\right)}{x^{2} - 1}\right)}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{2 x^{2} \left(3 x - 2\right)}{x^{2} - 1} + 3 x - 1 + \frac{\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(x^{3} - x^{2} + 1\right)}{x^{2} - 1}\right)}{x^{2} - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{2 x^{2} \left(3 x - 2\right)}{x^{2} - 1} + 3 x - 1 + \frac{\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right) \left(x^{3} - x^{2} + 1\right)}{x^{2} - 1}\right)}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{3} - x^{2}\right) + 1}{x^{2} - 1}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{3} - x^{2}\right) + 1}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{3} - x^{2}\right) + 1}{x^{2} - 1}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{3} - x^{2}\right) + 1}{x^{2} - 1}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^3 - x^2 + 1)/(x^2 - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{3} - x^{2}\right) + 1}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{3} - x^{2}\right) + 1}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{3} - x^{2}\right) + 1}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{3} - x^{2}\right) + 1}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x^{3} - x^{2}\right) + 1}{x^{2} - 1} = \frac{- x^{3} - x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$$
- No
$$\frac{\left(x^{3} - x^{2}\right) + 1}{x^{2} - 1} = - \frac{- x^{3} - x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x^{3} - x^{2}\right) + 1}{x^{2} - 1} = \frac{- x^{3} - x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$$
- No
$$\frac{\left(x^{3} - x^{2}\right) + 1}{x^{2} - 1} = - \frac{- x^{3} - x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar